Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz
.
(d) e diretriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a equação de uma parábola e seus principais elementos. Sabemos que o vértice dessa parábola está na origem, ou seja, no ponto (0,0), e que a diretriz é a reta
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos lembrar como a posição da diretriz e do vértice influencia na forma da equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da diretriz em relação ao vértice. Já que a diretriz é a reta
e o vértice está na origem (0,0), isso significa que a parábola abre para a esquerda. Isso acontece porque a diretriz está a uma distância positiva à direita do vértice, então a “boca” da parábola aponta para o lado oposto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da forma geral da equação de uma parábola que abre horizontalmente. A equação padrão é:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz, mas com sinal negativo se a parábola abre para a esquerda). No nosso caso, o vértice é (0,0), então
e
, simplificando a equação para:
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que a diretriz está em
. A relação entre a diretriz e o parâmetro
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
O valor negativo de
confirma que a parábola abre para a esquerda.
Passo 5
Agora que temos o valor de
, substituímos na equação simplificada da parábola:
Essa é a equação da parábola com vértice na origem e diretriz
.
Passo 6
Por fim, vamos identificar os principais elementos da parábola:
- Vértice: (0, 0)
- Foco: A fórmula para o foco é
. Substituindo:
- Diretriz: Já sabemos que é
. - Eixo de simetria: Como a parábola abre horizontalmente, o eixo de simetria é o eixo das
, ou seja, a reta .
Resposta
A equação da parábola é
. Seus principais elementos são:
- Vértice: (0, 0)
- Foco: (-7, 0)
- Diretriz:
- Eixo de simetria:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
e
tais que
, determine os valores de
e
.
Resposta: e
Resposta:
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto e tem reta focal paralela ao eixo
;
(a) passa pelo ponto
Considere as matrizes
(a) Determine os valores de
para que a matriz
seja não singular.
(b) Faça em
e calcule
.
© Calcule .
(d) Calcule , com
em
.
(b) Faça
© Calcule
(d) Calcule
Respostas:
(a)
e
(b) -2
©
(d)
(b) -2
©
(d)
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;