Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a equação de uma parábola e seus principais elementos. Sabemos que o vértice dessa parábola está na origem, ou seja, no ponto (0,0), e que a diretriz é a reta . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos lembrar como a posição da diretriz e do vértice influencia na forma da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da diretriz em relação ao vértice. Já que a diretriz é a reta e o vértice está na origem (0,0), isso significa que a parábola abre para a esquerda. Isso acontece porque a diretriz está a uma distância positiva à direita do vértice, então a “boca” da parábola aponta para o lado oposto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da forma geral da equação de uma parábola que abre horizontalmente. A equação padrão é:
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz, mas com sinal negativo se a parábola abre para a esquerda). No nosso caso, o vértice é (0,0), então e , simplificando a equação para:

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de . Sabemos que a diretriz está em . A relação entre a diretriz e o parâmetro é dada por:
Substituindo os valores que temos:
O valor negativo de confirma que a parábola abre para a esquerda.

Passo 5

Agora que temos o valor de , substituímos na equação simplificada da parábola:
Essa é a equação da parábola com vértice na origem e diretriz .

Passo 6

Por fim, vamos identificar os principais elementos da parábola:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: A fórmula para o foco é . Substituindo:
  • Diretriz: Já sabemos que é .
  • Eixo de simetria: Como a parábola abre horizontalmente, o eixo de simetria é o eixo das , ou seja, a reta .

Resposta

A equação da parábola é . Seus principais elementos são:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: (-7, 0)
  • Diretriz:
  • Eixo de simetria:

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes e tais que , determine os valores de e .
Resposta: e
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto e tem reta focal paralela ao eixo ;
Considere as matrizes
(a) Determine os valores de para que a matriz seja não singular.
(b) Faça em e calcule .
© Calcule .
(d) Calcule , com em .

Respostas:

(a) e
(b) -2
©
(d)
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;