Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz L: x=7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a equação de uma parábola e seus principais elementos. Sabemos que o vértice dessa parábola está na origem, ou seja, no ponto (0,0), e que a diretriz é a reta L: x=7. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos lembrar como a posição da diretriz e do vértice influencia na forma da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da diretriz em relação ao vértice. Já que a diretriz é a reta x=7 e o vértice está na origem (0,0), isso significa que a parábola abre para a esquerda. Isso acontece porque a diretriz está a uma distância positiva à direita do vértice, então a “boca” da parábola aponta para o lado oposto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da forma geral da equação de uma parábola que abre horizontalmente. A equação padrão é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, (h,k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz, mas com sinal negativo se a parábola abre para a esquerda). No nosso caso, o vértice é (0,0), então h=0 e k=0, simplificando a equação para:
y^2 = 4p x

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de p. Sabemos que a diretriz está em x=7. A relação entre a diretriz e o parâmetro p é dada por:
Diretriz: x = h - p
Substituindo os valores que temos:
7 = 0 - p implies p = -7
O valor negativo de p confirma que a parábola abre para a esquerda.

Passo 5

Agora que temos o valor de p, substituímos na equação simplificada da parábola:
y^2 = 4(-7)x implies y^2 = -28x
Essa é a equação da parábola com vértice na origem e diretriz x=7.

Passo 6

Por fim, vamos identificar os principais elementos da parábola:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: A fórmula para o foco é (h + p, k). Substituindo:
(-7, 0)
  • Diretriz: Já sabemos que é x=7.
  • Eixo de simetria: Como a parábola abre horizontalmente, o eixo de simetria é o eixo das y, ou seja, a reta y=0.

Resposta

A equação da parábola é y^2 = -28x. Seus principais elementos são:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: (-7, 0)
  • Diretriz: x = 7
  • Eixo de simetria: y = 0

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