Determine alpha in R de modo que u e v sejam ortogonais, onde:
b) u=(alpha+1,1,2), v=(alpha-1,-1,-2).

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de alpha para que os vetores u e v sejam ortogonais. Isso está relacionado ao conteúdo de produto escalar de vetores na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de produto escalar e a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, se u cdot v = 0, então u e v são ortogonais.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores dados:
u = (alpha + 1, , 1, , 2) e v = (alpha - 1, , -1, , -2)
O produto escalar u cdot v é calculado assim:
(alpha + 1)(alpha - 1) + (1)(-1) + (2)(-2)

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão:
(alpha + 1)(alpha - 1) = alpha^2 - 1
Então:
alpha^2 - 1 + (-1) + (-4) = alpha^2 - 6
Para que os vetores sejam ortogonais, esse resultado deve ser igual a zero:
alpha^2 - 6 = 0

Resposta

Resolvendo a equação, temos alpha^2 = 6, então alpha = raiz6 ou alpha = -raiz6. Portanto, os valores de alpha que tornam u e v ortogonais são alpha = pm raiz6.

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