Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é . Se a elipse passa pelo ponto , determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo elipses. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seu centro na origem, um vértice em e que passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender as propriedades das elipses, como a equação padrão, identificação de vértices e focos, e como usar pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Como um dos vértices está em , isso significa que o semi-eixo maior está na direção do eixo . Portanto, .

Passo 3

Agora, sabemos que a elipse passa pelo ponto . Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Com e , podemos escrever a equação da elipse:

Passo 6

Agora, vamos determinar os vértices e os focos da elipse.
Como o semi-eixo maior está no eixo , os vértices estão em .
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Portanto, os focos estão em .

Resposta

A equação da elipse é . Os vértices estão em e , e os focos estão em e . O esboço da elipse mostra uma forma alongada verticalmente com esses vértices e focos.

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Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
Considere as matrizes
(a) Determine os valores de para que a matriz seja não singular.
(b) Faça em e calcule .
© Calcule .
(d) Calcule , com em .

Respostas:

(a) e
(b) -2
©
(d)
Determine de modo que e sejam ortogonais, onde:
b) .
Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(g)