Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é (0,7). Se a elipse passa pelo ponto (raiz5, 14 / 3), determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.
R: : x^29+y^249=1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo elipses. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seu centro na origem, um vértice em (0,7) e que passa pelo ponto (raiz5, 143). Para isso, vamos precisar entender as propriedades das elipses, como a equação padrão, identificação de vértices e focos, e como usar pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Como um dos vértices está em (0,7), isso significa que o semi-eixo maior está na direção do eixo y. Portanto, b = 7.

Passo 3

Agora, sabemos que a elipse passa pelo ponto (raiz5, 143). Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de a.
Substituindo x = raiz5 e y = 143 na equação:
(raiz5)^2a^2 + (143)^249 = 1
Simplificando:
5a^2 + 196949 = 1 5a^2 + 49 = 1

Passo 4

Agora, isolamos 5a^2:
5a^2 = 1 - 49 5a^2 = 59
Multiplicando ambos os lados por a^2:
5 = 59a^2
Dividindo ambos os lados por 59:
a^2 = 9 a = 3

Passo 5

Com a = 3 e b = 7, podemos escrever a equação da elipse:
x^29 + y^249 = 1

Passo 6

Agora, vamos determinar os vértices e os focos da elipse.
Como o semi-eixo maior está no eixo y, os vértices estão em (0, pm b) = (0, pm 7).
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2 = raiz49 - 9 = raiz40 = 2raiz10
Portanto, os focos estão em (0, pm 2raiz10).

Resposta

A equação da elipse é x^29 + y^249 = 1. Os vértices estão em (0,7) e (0,-7), e os focos estão em (0,2raiz10) e (0,-2raiz10). O esboço da elipse mostra uma forma alongada verticalmente com esses vértices e focos.

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