Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é
. Se a elipse passa pelo ponto
, determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo elipses. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seu centro na origem, um vértice em
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos precisar entender as propriedades das elipses, como a equação padrão, identificação de vértices e focos, e como usar pontos dados para encontrar os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a equação padrão de uma elipse com centro na origem é:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Como um dos vértices está em
, isso significa que o semi-eixo maior está na direção do eixo
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, sabemos que a elipse passa pelo ponto
. Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Com
e
, podemos escrever a equação da elipse:
Passo 6
Agora, vamos determinar os vértices e os focos da elipse.
Como o semi-eixo maior está no eixo
, os vértices estão em
.
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Portanto, os focos estão em
.
Resposta
A equação da elipse é
. Os vértices estão em
e
, e os focos estão em
e
. O esboço da elipse mostra uma forma alongada verticalmente com esses vértices e focos.