Considere as matrizes
A=[rr x & 1 x^2 & -1 ] e B=[rr 2 & 1 -5 & -2 ]
(a) Determine os valores de x para que a matriz A seja não singular.
(b) Faça x=1 em A e calcule det(A).
© Calcule B^-1.
(d) Calcule B^-1 A B, com x=1 em A.

Respostas:

(a) x neq 0 e x neq 1
(b) -2
© [rr-2 & -1 5 & 2]
(d) [rr-1 & -1 -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão envolve duas matrizes, e , e pede para a gente resolver algumas operações com elas. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e inversas. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, verificar quando uma matriz é não singular (ou seja, quando ela tem inversa) e como encontrar a inversa de uma matriz 2x2.

Passo 2

Parte (a): Determinar os valores de A = x & 1 x^2 & -1 para que a matriz det(A) = a cdot d - b cdot c seja não singular.

Primeiro, uma matriz é não singular quando seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz A = a & b c & d e encontrar os valores de det(A) = x cdot (-1) - 1 cdot x^2 = -x - x^2 que fazem esse determinante diferente de zero.
A matriz det(A) = -x^2 - x = -x(x + 1) é:
det(A) neq 0 Rightarrow -x(x + 1) neq 0
O determinante de x neq 0 e x + 1 neq 0 Rightarrow x neq -1 ( ) para uma matriz 2x2 é dado por:
onde são os elementos da matriz:
Aplicando isso à nossa matriz :
Simplificando:
Para que seja não singular:
Isso acontece quando:
Então, os valores de que fazem ser não singular são todos os diferentes de 0 e -1.

Passo 3

Parte (b): Fazer A = 1 & 1 1^2 & -1 = 1 & 1 1 & -1 em det(A) = 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 = -1 - 1 = -2 e calcular .

Primeiro, substituímos na matriz :
Agora, calculamos o determinante de :

Passo 4

Parte ©: Calcular B = 2 & 1 -5 & -2 .

A matriz B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a é:
a & b c & d
Para encontrar a inversa de det(B) = 2 cdot (-2) - 1 cdot (-5) = -4 + 5 = 1 ( B^-1 = 11 -2 & -1 5 & 2 = -2 & -1 5 & 2 ), usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como , a inversa é:

Passo 5

Parte (d): Calcular B^-1 = -2 & -1 5 & 2 , com A = 1 & 1 1 & -1 em B^-1 A = -2 & -1 5 & 2 1 & 1 1 & -1 = (-2 cdot 1) + (-1 cdot 1) & (-2 cdot 1) + (-1 cdot -1) (5 cdot 1) + (2 cdot 1) & (5 cdot 1) + (2 cdot -1) = -3 & -1 7 & 3 .

Primeiro, já temos B^-1 A B = -3 & -1 7 & 3 2 & 1 -5 & -2 = (-3 cdot 2) + (-1 cdot -5) & (-3 cdot 1) + (-1 cdot -2) (7 cdot 2) + (3 cdot -5) & (7 cdot 1) + (3 cdot -2) = -6 + 5 & -3 + 2 14 - 15 & 7 - 6 = -1 & -1 -1 & 1 da parte ©:
E também temos com da parte (b):
Agora, calculamos :
Agora, multiplicamos o resultado por :

Resposta

(a) Para B^-1 = -2 & -1 5 & 2 ser não singular, -1 & -1 -1 & 1 e .
(b) Com , .
© A inversa de é:
(d) Com , .

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