Considere as matrizes
(a) Determine os valores de
para que a matriz
seja não singular.
(b) Faça
em
e calcule
.
© Calcule
.
(d) Calcule
, com
em
.
Respostas:
(a)
e
(b) -2
©
(d)
(b) Faça
© Calcule
(d) Calcule
(b) -2
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão envolve duas matrizes,
e
, e pede para a gente resolver algumas operações com elas. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e inversas. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, verificar quando uma matriz é não singular (ou seja, quando ela tem inversa) e como encontrar a inversa de uma matriz 2x2.
Passo 2
Parte (a): Determinar os valores de
para que a matriz
seja não singular.
Primeiro, uma matriz é não singular quando seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz
e encontrar os valores de
que fazem esse determinante diferente de zero.
A matriz
é:
O determinante de
(
) para uma matriz 2x2 é dado por:
onde
são os elementos da matriz:
Aplicando isso à nossa matriz
:
Simplificando:
Para que
seja não singular:
Isso acontece quando:
Então, os valores de
que fazem
ser não singular são todos os
diferentes de 0 e -1.
Passo 3
Parte (b): Fazer
em
e calcular
.
Primeiro, substituímos
na matriz
:
Agora, calculamos o determinante de
:
Passo 4
Parte ©: Calcular
.
A matriz
é:
Para encontrar a inversa de
(
), usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde
.
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como
, a inversa é:
Passo 5
Parte (d): Calcular
, com
em
.
Primeiro, já temos
da parte ©:
E também temos
com
da parte (b):
Agora, calculamos
:
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Resposta
(a) Para
ser não singular,
e
.
(b) Com
,
.
© A inversa de
é:
(d) Com
,
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .
(d) e diretriz
Dadas as matrizes
e
tais que
, determine os valores de
e
.
Resposta: e
Resposta:
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é
. Se a elipse passa pelo ponto
, determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.