Considere as matrizes
(a) Determine os valores de para que a matriz seja não singular.
(b) Faça em e calcule .
© Calcule .
(d) Calcule , com em .

Respostas:

(a) e
(b) -2
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão envolve duas matrizes, e , e pede para a gente resolver algumas operações com elas. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e inversas. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, verificar quando uma matriz é não singular (ou seja, quando ela tem inversa) e como encontrar a inversa de uma matriz 2x2.

Passo 2

Parte (a): Determinar os valores de para que a matriz seja não singular.

Primeiro, uma matriz é não singular quando seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que fazem esse determinante diferente de zero.
A matriz é:
O determinante de ( ) para uma matriz 2x2 é dado por:
onde são os elementos da matriz:
Aplicando isso à nossa matriz :
Simplificando:
Para que seja não singular:
Isso acontece quando:
Então, os valores de que fazem ser não singular são todos os diferentes de 0 e -1.

Passo 3

Parte (b): Fazer em e calcular .

Primeiro, substituímos na matriz :
Agora, calculamos o determinante de :

Passo 4

Parte ©: Calcular .

A matriz é:
Para encontrar a inversa de ( ), usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como , a inversa é:

Passo 5

Parte (d): Calcular , com em .

Primeiro, já temos da parte ©:
E também temos com da parte (b):
Agora, calculamos :
Agora, multiplicamos o resultado por :

Resposta

(a) Para ser não singular, e .
(b) Com , .
© A inversa de é:
(d) Com , .

Exercícios relacionados

Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .
Dadas as matrizes e tais que , determine os valores de e .
Resposta: e
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é . Se a elipse passa pelo ponto , determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.