Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto , que está no primeiro quadrante do plano (ou seja, e ). Queremos descobrir quais condições devem satisfazer os números , e para que essa circunferência intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto.
Conteúdo da matéria: Geometria analítica, especificamente o estudo de circunferências e suas interseções com os eixos coordenados.
O que vamos precisar:
Equação da circunferência.
Entender como encontrar os pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados.
Condições para que estas interseções sejam únicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano. A equação de uma circunferência com centro em e raio é dada por:
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a circunferência intercepta os eixos coordenados, precisamos resolver a equação da circunferência para e quando os outros parâmetro é zero.
Interseção com o eixo :
Quando a circunferência intercepta o eixo , . Substituindo na equação:
Resolvendo para :
Interseção com o eixo :
Quando a circunferência intercepta o eixo , . Substituindo na equação:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, queremos que a circunferência intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto. Isso significa que deve haver somente um ponto de interseção no total com os dois eixos.
Para que isso ocorra, a circunferência deve ser tangente a um dos eixos e não deve cortar o outro eixo. Vamos analisar cada caso:
Tangência com o eixo :
A circunferência toca o eixo em exatamente um ponto se a expressão dentro da raiz para for zero:
Portanto, . Neste caso, há exatamente um ponto de interseção com o eixo :
Para que não haja interseção com o eixo , a expressão dentro da raiz para deve ser negativa:
Tangência com o eixo :
Similarmente, a circunferência toca o eixo em exatamente um ponto se:
Portanto, . Neste caso, há exatamente um ponto de interseção com o eixo :
Para que não haja interseção com o eixo , a expressão dentro da raiz para deve ser negativa:
Passo 5
Resumindo os casos:
Tangência com o eixo e sem interseção com o eixo :
Tangência com o eixo e sem interseção com o eixo :
Passo 6
Outra situação possível é que a circunferência seja tangente a ambos os eixos simultaneamente. Isso aconteceria se ela tocasse cada eixo em exatamente um ponto, totalizando dois pontos de interseção. Porém, como queremos apenas um ponto de interseção no total, essa situação não se aplica ao nosso caso.
Para que a circunferência seja tangente a ambos os eixos e ao mesmo tempo, precisaríamos que:
Mas, como mencionado, isso resultaria em dois pontos de interseção (um com cada eixo), o que não atende à condição do problema.
Passo 7
Portanto, as condições que garantem que a circunferência intercepte os eixos coordenados em exatamente um ponto são: