Dados os pontos $A, B, C$ e $D$ tais que $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A B}$, mostre que $\overrightarrow{C D}=(1-\lambda) \overrightarrow{C A}+\lambda \overrightarrow{C B}$, ou seja, $\overrightarrow{C D}$ pode ser escrito como combinação linear de $\overrightarrow{C A}$ e $\overrightarrow{C B}$.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos \( A, B, C \) e \( D \) no espaço vetorial, com a condição de que o vetor \( \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} \). O conteúdo principal aqui envolve álgebra vetorial e combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de vetores e a definição de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a posição do ponto \( D \) em termos dos pontos \( A \) e \( B \). A condição \( \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} \) significa que \( D \) está localizado em uma posição que é uma fração \( \lambda \) do vetor \( AB \) a partir de \( A \). Matematicamente, podemos escrever: \[ \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} \] Isso implica que: \[ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{AB} \]

Passo 3

Agora, queremos expressar \( \overrightarrow{CD} \) como uma combinação linear de \( \overrightarrow{CA} \) e \( \overrightarrow{CB} \). Vamos começar escrevendo \( \overrightarrow{CD} \) em termos dos pontos \( C \) e \( D \): \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \] Substituindo \( \overrightarrow{OD} \) da etapa anterior: \[ \overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{AB} \right) - \overrightarrow{OC} \]

Passo 4

Vamos reescrever \( \overrightarrow{AB} \) em termos de \( \overrightarrow{CB} \) e \( \overrightarrow{CA} \). Sabemos que: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \] Substituindo essa expressão na equação de \( \overrightarrow{CD} \): \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OA} + \lambda (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) - \overrightarrow{OC} \] Como \( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA} \), então: \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} - \lambda \overrightarrow{CA} = (1 - \lambda) \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} \]

Resposta

Portanto, mostramos que: \[ \overrightarrow{CD} = (1 - \lambda) \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} \]

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