Dados os pontos $A, B, C$ e $D$ tais que $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A B}$, mostre que $\overrightarrow{C D}=(1-\lambda) \overrightarrow{C A}+\lambda \overrightarrow{C B}$, ou seja, $\overrightarrow{C D}$ pode ser escrito como combinação linear de $\overrightarrow{C A}$ e $\overrightarrow{C B}$.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos \( A, B, C \) e \( D \) no espaço vetorial, com a condição de que o vetor \( \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} \). O conteúdo principal aqui envolve álgebra vetorial e combinação linear de vetores. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de vetores e a definição de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a posição do ponto \( D \) em termos dos pontos \( A \) e \( B \). A condição \( \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} \) significa que \( D \) está localizado em uma posição que é uma fração \( \lambda \) do vetor \( AB \) a partir de \( A \).
Matematicamente, podemos escrever:
\[
\overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB}
\]
Isso implica que:
\[
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{AB}
\]
Passo 3
Agora, queremos expressar \( \overrightarrow{CD} \) como uma combinação linear de \( \overrightarrow{CA} \) e \( \overrightarrow{CB} \). Vamos começar escrevendo \( \overrightarrow{CD} \) em termos dos pontos \( C \) e \( D \):
\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}
\]
Substituindo \( \overrightarrow{OD} \) da etapa anterior:
\[
\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{AB} \right) - \overrightarrow{OC}
\]
Passo 4
Vamos reescrever \( \overrightarrow{AB} \) em termos de \( \overrightarrow{CB} \) e \( \overrightarrow{CA} \). Sabemos que:
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}
\]
Substituindo essa expressão na equação de \( \overrightarrow{CD} \):
\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OA} + \lambda (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) - \overrightarrow{OC}
\]
Como \( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA} \), então:
\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} - \lambda \overrightarrow{CA} = (1 - \lambda) \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB}
\]
Resposta
Portanto, mostramos que:
\[
\overrightarrow{CD} = (1 - \lambda) \overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB}
\]