Dados dois pontos no plano A=(a1, a2) e B=(b1, b2), a distância entre B e A é dada por
d(B, A)=raiz(a1-b1)^2+(a2-b2)^2
Sabendo disso e usando apenas esta fórmula de distância, dados os pontos A=(2,2), B=(4,1), C=(0,0), D=(3,2) e E=(3,-1) verifique:
a) Quais dos pontos C, D e E se encontram na região delimitada pelo círculo de centro A passando por B ?
b) Quais dos pontos A, B e C se encontram na região delimitada pelo círculo de centro D passando por E ?
c) Represente geometricamente cada situação descrita nos itens a) e b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem dois pontos no plano, d(B, A) = raiz(a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 e , e a fórmula para calcular a distância entre eles é:
Vamos usar essa fórmula para resolver os itens a), b) e c).

Passo 2

Item a): Queremos saber quais dos pontos d(B, A) = raiz(2 - 4)^2 + (2 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + (1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 , e estão dentro da região delimitada pelo círculo com centro em e que passa por .
Primeiro, vamos calcular a distância entre e para encontrar o raio do círculo.
Então, o raio do círculo é .
Agora, para cada ponto , e , vamos calcular a distância até e ver se é menor que .

Passo 3

Calculando a distância de d(C, A) = raiz(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2.828 até :
Como , está fora do círculo.

Passo 4

Calculando a distância de d(D, A) = raiz(2 - 3)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(-1)^2 + 0 = raiz1 = 1 até :
Como , está dentro do círculo.

Passo 5

Calculando a distância de d(E, A) = raiz(2 - 3)^2 + (2 - (-1))^2 = raiz(-1)^2 + (3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10 approx 3.162 até :
Como , está fora do círculo.

Passo 6

Item b): Agora, queremos saber quais dos pontos d(E, D) = raiz(3 - 3)^2 + (2 - (-1))^2 = raiz0 + (3)^2 = raiz9 = 3 , e estão dentro da região delimitada pelo círculo com centro em e que passa por .
Primeiro, vamos calcular a distância entre e para encontrar o raio desse círculo.
Então, o raio do círculo é .
Agora, para cada ponto , e , vamos calcular a distância até e ver se é menor que .

Passo 7

Calculando a distância de d(A, D) = raiz(3 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = raiz1 + 0 = raiz1 = 1 até :
Como , está dentro do círculo.

Passo 8

Calculando a distância de d(B, D) = raiz(3 - 4)^2 + (2 - 1)^2 = raiz(-1)^2 + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1.414 até :
Como , está dentro do círculo.

Passo 9

Calculando a distância de d(C, D) = raiz(3 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3.606 até :
Como , está fora do círculo.

Passo 10

Item c): Vamos representar geometricamente cada situação.
Para o item a):
  • Desenhe um círculo com centro em e raio .
  • Marque os pontos , e no plano.
  • Observe que está dentro do círculo, enquanto e estão fora.
Para o item b):
  • Desenhe um círculo com centro em e raio .
  • Marque os pontos , e no plano.
  • Observe que e estão dentro do círculo, enquanto está fora.

Resposta

a) Apenas o ponto está na região delimitada pelo círculo de centro passando por .
b) Os pontos e estão na região delimitada pelo círculo de centro passando por .
c) Geometricamente, cada situação pode ser representada desenhando os respectivos círculos e posicionando os pontos conforme descrito nos passos anteriores.

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