Em , considere e . Determine o vetor tal que e
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional :
E queremos encontrar o vetor que satisfaz as seguintes condições de produto escalar:
Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares. Precisamos montar um sistema baseado nas equações dos produtos escalares e solucionar para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Aplicando isso às nossas condições:
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, simplificamos a terceira equação para facilitar:

  1. Dividindo todos os termos por 2:

    Portanto, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:

  1. Simplificando:


    Dividindo por 3:

    Ou seja,

  2. Simplificando:


Agora temos:
Substituímos na segunda equação:



Passo 4

Agora que sabemos que , podemos encontrar e :

Resposta

Portanto, o vetor é:

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Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(f)
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
Determine um vetor simultaneamente ortogonal a e .
(a) e
(b) e

Respostas:

(a)
(b)
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;