Em R^3, considere v1=(1,2,-3), v2=(3,-1,-1) e v3=(2,-2,0). Determine o vetor u tal que u cdot v1=4, u cdot v2=6 e u cdot v3=2
Resposta: u=(3,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
  • v1 = (1, 2, -3)
  • v2 = (3, -1, -1)
  • v3 = (2, -2, 0)
E queremos encontrar o vetor u = (x, y, z) que satisfaz as seguintes condições de produto escalar:
  • u cdot v1 = 4
  • u cdot v2 = 6
  • u cdot v3 = 2
Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares. Precisamos montar um sistema baseado nas equações dos produtos escalares e solucionar para x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso às nossas condições:
  1. u cdot v1 = x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot (-3) = 4
  2. u cdot v2 = x cdot 3 + y cdot (-1) + z cdot (-1) = 6
  3. u cdot v3 = x cdot 2 + y cdot (-2) + z cdot 0 = 2
Então, temos o seguinte sistema de equações:
x + 2y - 3z = 4 3x - y - z = 6 2x - 2y = 2

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, simplificamos a terceira equação para facilitar:
  1. 2x - 2y = 2
    Dividindo todos os termos por 2:
    x - y = 1
    Portanto, podemos expressar x em termos de y:
    x = y + 1
Agora, substituímos x = y + 1 nas duas primeiras equações:
  1. (y + 1) + 2y - 3z = 4
    Simplificando:
    3y - 3z + 1 = 4
    3y - 3z = 3
    Dividindo por 3:
    y - z = 1
    Ou seja, y = z + 1
  2. 3(y + 1) - y - z = 6
    Simplificando:
    3y + 3 - y - z = 6
    2y - z + 3 = 6
    2y - z = 3
Agora temos:
  • y = z + 1
  • 2y - z = 3
Substituímos y na segunda equação:
2(z + 1) - z = 3
2z + 2 - z = 3
z + 2 = 3
z = 1

Passo 4

Agora que sabemos que z = 1, podemos encontrar y e x:
  • y = z + 1 = 1 + 1 = 2
  • x = y + 1 = 2 + 1 = 3

Resposta

Portanto, o vetor u é:
u = (3, 2, 1)

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