Determine um vetor simultaneamente ortogonal a u e v.
(a) u=(-1,-1,-1) e v=(2,0,2)
(b) u=(-7,3,1) e v=(2,0,4)

Respostas:

(a) (-2,0,2)
(b) (12,30,-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto ao vetor u quanto ao vetor v. O que significa ser ortogonal? Quer dizer que o produto escalar entre eles é zero. Para achar esse vetor, vamos usar o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores dados.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Temos os vetores:
u = (-1, -1, -1) e v = (2, 0, 2)
Para encontrar o vetor ortogonal, calculamos o produto vetorial u times v.

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores.

Passo 4

Calculando cada componente:
x &= (-1)(2) - (-1)(0) = -2 - 0 = -2 y &= (-1)(2) - (-1)(2) = -2 + 2 = 0 z &= (-1)(0) - (-1)(2) = 0 + 2 = 2
Então, o vetor ortogonal é (-2, 0, 2).

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Temos os vetores:
u = (-7, 3, 1) e v = (2, 0, 4)
Novamente, vamos calcular o produto vetorial u times v.

Passo 6

Aplicando a fórmula do produto vetorial:
x &= (3)(4) - (1)(0) = 12 - 0 = 12 y &= (1)(2) - (-7)(4) = 2 + 28 = 30 z &= (-7)(0) - (3)(2) = 0 - 6 = -6
Então, o vetor ortogonal é (12, 30, -6).

Resposta

(a) (-2, 0, 2)
(b) (12, 30, -6)

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