Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: a) b) c) d) e) f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem várias retas definidas por sistemas de equações, e o que a gente precisa fazer é encontrar um ponto que está na reta e um vetor diretor que indica a direção da reta. Isso faz parte da Geometria Analítica, mais especificamente do estudo das retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada de duas formas principais:
Forma paramétrica: onde expressamos as coordenadas , , e em função de um parâmetro .
Forma simétrica: onde relacionamos as coordenadas , , e diretamente entre si.
Em ambos os casos, precisamos identificar um ponto específico na reta (geralmente obtido fixando o parâmetro ou resolvendo as equações) e um vetor que indica a direção da reta (obtido a partir dos coeficientes das variáveis ou do parâmetro).
Passo 3
Vamos resolver cada item do exercício:
a)
Ponto na reta: Vamos fixar .
Então, o ponto é .
Vetor diretor: Os coeficientes de nas equações paramétricas são .
b)
Ponto na reta: Vamos escolher .
Então, o ponto é .
Vetor diretor: A variável livre aqui é . Se , então:
O vetor diretor é .
c)
Ponto na reta: Quando :
Então, o ponto é .
Vetor diretor: Os coeficientes de são .
d)
Ponto na reta: Vamos escolher .
Então, o ponto é .
Vetor diretor: A variável livre aqui é . Se , então:
O vetor diretor é .
e)
Ponto na reta: Vamos escolher .
Então, o ponto é .
Vetor diretor: A variável livre é . Se , então:
O vetor diretor é .
f)
Ponto na reta: Vamos escolher .
Então, o ponto é .
Vetor diretor: Como todas as coordenadas são iguais, o vetor diretor é .
Resposta
Aqui estão um ponto e um vetor diretor para cada reta: