Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: a) b) c) d) e) f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem várias retas definidas por sistemas de equações, e o que a gente precisa fazer é encontrar um ponto que está na reta e um vetor diretor que indica a direção da reta. Isso faz parte da Geometria Analítica, mais especificamente do estudo das retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada de duas formas principais:
  1. Forma paramétrica: onde expressamos as coordenadas , , e em função de um parâmetro .
  2. Forma simétrica: onde relacionamos as coordenadas , , e diretamente entre si.
Em ambos os casos, precisamos identificar um ponto específico na reta (geralmente obtido fixando o parâmetro ou resolvendo as equações) e um vetor que indica a direção da reta (obtido a partir dos coeficientes das variáveis ou do parâmetro).

Passo 3

Vamos resolver cada item do exercício:

a)

  • Ponto na reta: Vamos fixar .
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: Os coeficientes de nas equações paramétricas são .

b)

  • Ponto na reta: Vamos escolher .
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: A variável livre aqui é . Se , então:
    • O vetor diretor é .

c)

  • Ponto na reta: Quando :
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: Os coeficientes de são .

d)

  • Ponto na reta: Vamos escolher .
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: A variável livre aqui é . Se , então:
    • O vetor diretor é .

e)

  • Ponto na reta: Vamos escolher .
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: A variável livre é . Se , então:
    • O vetor diretor é .

f)

  • Ponto na reta: Vamos escolher .
    • Então, o ponto é .
  • Vetor diretor: Como todas as coordenadas são iguais, o vetor diretor é .

Resposta

Aqui estão um ponto e um vetor diretor para cada reta:
a) Ponto:
Vetor diretor:
b) Ponto:
Vetor diretor:
c) Ponto:
Vetor diretor:
d) Ponto:
Vetor diretor:
e) Ponto:
Vetor diretor:
f) Ponto:
Vetor diretor:

Exercícios relacionados

Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o ponto .
Ache a distância entre as retas e nos casos:
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Calcule o angulo entre e .
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Dê um exemplo de uma reta contida em e que é perpendicular a .