Clacule a transformada de Laplace inversa ;

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um exercício que pede para calcularmos a transformada de Laplace inversa de uma expressão matemática. A transformada de Laplace é uma ferramenta bem legal usada em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar a fração em partes mais simples e usar tabelas de transformadas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos transformar de volta no domínio do tempo:
Podemos notar que temos frações com denominadores quadráticos. A estratégia aqui é separar essa expressão em frações mais simples que podemos facilmente transformar de volta usando as tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira fração:
Para isso, vamos usar frações parciais, que basicamente significa escrever essa fração como a soma de frações menores. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C, e D.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela expressão para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir os produtos:
Agrupando os termos de mesmo grau:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Substituindo na segunda equação: .
Agora, substituindo na equação :
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a fração original como:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos lidar com a segunda parte da expressão original:
Ela já está em uma forma que podemos transformar diretamente. Então, juntando tudo, a expressão completa para transformar é:

Passo 8

Agora, simplificamos combinando os termos semelhantes:
E para os outros termos:

Passo 9

Agora, identificamos que pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso nos ajuda a usar as tabelas de transformadas de Laplace, pois sabemos que:
e

Passo 10

Aplicando isso, vamos transformar cada termo:
  1. Para , ajustamos para se adequar à fórmula:
Isso se traduz em:
  1. Para , sabemos que:
Então:
  1. Para , temos:
Então:

Passo 11

Finalmente, juntando tudo, a transformada inversa é:
Simplificando mais:

Resposta

A transformada de Laplace inversa da expressão dada é:

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Calcule o limite, caso exista. Caso contrário, justifique.
, onde
Clacule a transformada de Laplace inversa ;
Dado
Ache o valor de para o qual exista.
Clacule a transformada de Laplace inversa ;