Beleza, então o que temos aqui é um exercício que pede para calcularmos a transformada de Laplace inversa de uma expressão matemática. A transformada de Laplace é uma ferramenta bem legal usada em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar a fração em partes mais simples e usar tabelas de transformadas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos transformar de volta no domínio do tempo:
Podemos notar que temos frações com denominadores quadráticos. A estratégia aqui é separar essa expressão em frações mais simples que podemos facilmente transformar de volta usando as tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 3
Vamos começar simplificando a primeira fração:
Para isso, vamos usar frações parciais, que basicamente significa escrever essa fração como a soma de frações menores. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C, e D.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela expressão para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir os produtos:
Agrupando os termos de mesmo grau:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema:
De , temos .
De , temos .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Agora, substituindo na equação :
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores de e , podemos escrever a fração original como:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos lidar com a segunda parte da expressão original:
Ela já está em uma forma que podemos transformar diretamente. Então, juntando tudo, a expressão completa para transformar é:
Passo 8
Agora, simplificamos combinando os termos semelhantes:
E para os outros termos:
Passo 9
Agora, identificamos que pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso nos ajuda a usar as tabelas de transformadas de Laplace, pois sabemos que:
e
Passo 10
Aplicando isso, vamos transformar cada termo:
Para , ajustamos para se adequar à fórmula:
Isso se traduz em:
Para , sabemos que:
Então:
Para , temos:
Então:
Passo 11
Finalmente, juntando tudo, a transformada inversa é:
Simplificando mais:
Resposta
A transformada de Laplace inversa da expressão dada é: