Dado
f(x)=c 3 x+2 se x<0 5 x+k se x >= 0
Ache o valor de k para o qual lim x 0 f(x) exista.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = ll 3x + 2 & se x < 0 5x + k & se x >= 0
Queremos encontrar o valor de para que o limite de quando se aproxima de 0 exista. Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (3x + 2) = 3(0) + 2 = 2 quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a parte da função para :
Então, o limite pela esquerda é 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (5x + k) = 5(0) + k = k quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Aqui, usamos a parte da função para :
Portanto, o limite pela direita é .

Passo 4

Para que o limite geral de limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) implies 2 = k em exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então:

Resposta

O valor de que faz com que o limite de quando se aproxima de 0 exista é .

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