Clacule a transformada de Laplace inversa ;

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a transformada de Laplace inversa da expressão . Isso envolve usar técnicas de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace. Vamos precisar decompor a fração e conhecer as transformadas básicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte . Para simplificar essa expressão, vamos usar frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como uma soma de frações mais simples que podemos transformar facilmente de volta no tempo.

Passo 3

Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos poderes de de ambos os lados:
  • :
  • :
  • :
  • Termo constante:

Passo 5

Resolvendo as equações:
  • De e , temos um conflito, o que indica que nossa suposição inicial para as frações parciais estava incompleta. Vamos ajustar nossa abordagem.
Na verdade, para , a decomposição correta é:
Vamos multiplicar ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
  • :
  • :
  • :
  • Constante:
Então, , , e .

Passo 6

Agora, substituindo os valores encontrados:
Então, a expressão original fica:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo:
  • (sabemos que )
  • (porque )
Então:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é .

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Dado
Ache o valor de para o qual exista.
Clacule a transformada de Laplace inversa ;
Dado
Encontre o valor de para o qual exista.
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;