Clacule a transformada de Laplace inversa
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para deixar a fração num formato que a gente consiga identificar facilmente com as transformadas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o denominador
. A ideia é completar o quadrado pra simplificar a expressão. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática em algo como
.
Então, vamos completar o quadrado:
Agora, nosso denominador ficou
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a fração original usando o denominador que acabamos de obter:
A ideia aqui é separar o numerador de forma que possamos identificar partes que correspondem a transformadas inversas conhecidas. Vamos fazer isso dividindo o numerador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos usar as transformadas inversas conhecidas. Sabemos que:
No nosso caso,
e
. Aplicando isso às duas partes da fração:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é
.
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