Clacule a transformada de Laplace inversa ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace Inversa juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para deixar a fração num formato que a gente consiga identificar facilmente com as transformadas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador . A ideia é completar o quadrado pra simplificar a expressão. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática em algo como .
Então, vamos completar o quadrado:
Agora, nosso denominador ficou .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a fração original usando o denominador que acabamos de obter:
A ideia aqui é separar o numerador de forma que possamos identificar partes que correspondem a transformadas inversas conhecidas. Vamos fazer isso dividindo o numerador:
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, vamos usar as transformadas inversas conhecidas. Sabemos que:
No nosso caso, e . Aplicando isso às duas partes da fração:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é .

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Calcule o limite, caso exista. Caso contrário, justifique.
, onde
Defina limite (de modo informal).
Calcule o limite, caso exista. Caso contrário, justifique.
, onde
Clacule a transformada de Laplace inversa ;