Clacule a transformada de Laplace inversa ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Laplace inversa da expressão . Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações mais complicadas em partes mais simples que a gente já sabe como transformar de volta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é expressar nossa fração original como a soma de duas frações mais simples, cada uma com denominadores e . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de , , e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , eliminando os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir as expressões do lado direito:
Somando tudo:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na terceira equação:
Agora que sabemos que , substituímos na equação :

Passo 7

Agora, vamos resolver para e . Da segunda equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na quarta equação:
Agora que temos , substituímos na equação :

Passo 8

Com os valores encontrados, nossa decomposição fica assim:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. corresponde a , pois .
  2. corresponde a , já que está na forma com .
  3. corresponde a , pois .

Passo 10

Finalmente, somando todos os componentes, temos a transformada de Laplace inversa completa:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é .

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