Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Laplace inversa da expressão . Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor frações mais complicadas em partes mais simples que a gente já sabe como transformar de volta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A ideia é expressar nossa fração original como a soma de duas frações mais simples, cada uma com denominadores e . Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de , , e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , eliminando os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir as expressões do lado direito:
Somando tudo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .
Passo 6
Primeiro, da primeira equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na terceira equação:
Agora que sabemos que , substituímos na equação :
Passo 7
Agora, vamos resolver para e . Da segunda equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na quarta equação:
Agora que temos , substituímos na equação :
Passo 8
Com os valores encontrados, nossa decomposição fica assim:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
corresponde a , pois .
corresponde a , já que está na forma com .
corresponde a , pois .
Passo 10
Finalmente, somando todos os componentes, temos a transformada de Laplace inversa completa: