Encontre a transformada de Laplace inversa de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa de . Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que são super úteis pra resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como decompor frações parciais e usar tabelas de transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Para facilitar a parada, vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos escrever como , onde e são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos resolver pra e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever :

Passo 6

Vamos usar a tabela de transformadas de Laplace inversas para cada termo:
  1. A transformada inversa de é , então:
  1. A transformada inversa de é , então:

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de é:

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Clacule a transformada de Laplace inversa ,
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