Encontre a transformada de Laplace inversa de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa de
. Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace, que são super úteis pra resolver equações diferenciais. Vamos precisar entender como decompor frações parciais e usar tabelas de transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão
. Para facilitar a parada, vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos escrever
como
, onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos resolver pra
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever
:
Passo 6
Vamos usar a tabela de transformadas de Laplace inversas para cada termo:
- A transformada inversa de
é , então:
- A transformada inversa de
é , então:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de
é:
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Use o Teorema de Green para calcular
. (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o retângulo com vértices
e
Clacule a transformada de Laplace inversa
,
Clacule a transformada de Laplace inversa
;