Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
C é o triângulo com vértices e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem a curva , que é um triângulo com vértices em , e , orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). A integral que precisamos calcular é:
Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de em relação a :
Porque não depende de .
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha original é igual a vezes a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo dado.

Passo 5

Agora, vamos descrever a região . O triângulo tem vértices em , e . Podemos parametrizar com variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até a reta que liga a , que é simplesmente .

Passo 6

Portanto, a integral dupla fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é .

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