Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y^2 d x+y tg^-1 y d y C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem a curva integralC x^2 y^2 , dx + y tan^-1(y) , dy , que é um triângulo com vértices em , e , orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). A integral que precisamos calcular é:
Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de partial Qpartial x = partialpartial x ( y tan^-1(y) ) = 0 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 y^2 ) = 2 x^2 y :
Porque não depende de .
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 0 - 2 x^2 y ) , dA = -2 integral duplaD x^2 y , dA
Então, a integral de linha original é igual a vezes a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo dado.

Passo 5

Agora, vamos descrever a região . O triângulo tem vértices em , e . Podemos parametrizar com variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até a reta que liga a , que é simplesmente .

Passo 6

Portanto, a integral dupla fica:
-2 integralx=0^1 integraly=0^3x x^2 y , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^3x x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]0^3x = x^2 ( (3x)^22 - 0 ) = x^2 cdot 9x^22 = 92 x^4 :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
-2 integral0^1 92 x^4 , dx = -2 cdot 92 integral0^1 x^4 , dx = -9 [ x^55 ]0^1 = -9 cdot ( 15 - 0 ) = -95

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é .

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