Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
C é o triângulo com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A gente tem a curva
, que é um triângulo com vértices em
,
e
, orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). A integral que precisamos calcular é:
Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Porque
não depende de
.
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha original é igual a
vezes a integral dupla de
sobre a região
, que é o triângulo dado.
Passo 5
Agora, vamos descrever a região
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Podemos parametrizar
com
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 até a reta que liga
a
, que é simplesmente
.
Passo 6
Portanto, a integral dupla fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é
.
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