Dado
f(x)=l 3 k x-1 se x <= 1 x^2+2 k se x>1
Encontre o valor de k para o qual lim x 1 f(x) exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar o valor de que faz com que o limite de quando se aproxima de 1 exista. Isso envolve entender um pouco de limites e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para o limite de limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) existir em , os limites pela esquerda e pela direita de 1 precisam ser iguais. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda de 1, que usa a parte da função onde limx to 1^- f(x) = limx to 1 (3k x - 1) = 3k(1) - 1 = 3k - 1 :

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita de 1, que usa a parte da função onde limx to 1^+ f(x) = limx to 1 (x^2 + 2k) = (1)^2 + 2k = 1 + 2k :

Passo 5

Para que o limite exista, os dois limites devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões que encontramos:
3k - 1 = 1 + 2k

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 3k - 2k = 1 + 1 k = 2 :

Resposta

O valor de que faz com que exista é 2.

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