Use a transformada de Laplace para encontrar a solução y(t) do problema dado. y'' + y = t, y(0) = 0, y'(0) = 2;

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: temos a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace, uma ferramenta que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de é e a de é simplesmente . A transformada de é . Então, temos:

Passo 3

Simplificando a equação:
Fatorando :

Passo 4

Agora, isolamos :
Para simplificar, escrevemos 2 como :

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Explicando os termos:
Somando tudo:

Passo 7

Comparando os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema:
  • De , temos .
  • De , substituindo na segunda equação: então .

Passo 8

Substituindo os valores encontrados:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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