Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer: temos a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace, uma ferramenta que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de
é
e a de
é simplesmente
. A transformada de
é
. Então, temos:
Passo 3
Simplificando a equação:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para simplificar, escrevemos 2 como
:
Passo 5
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Explicando os termos:
Somando tudo:
Passo 7
Comparando os coeficientes de cada potência de
:
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - De
, substituindo na segunda equação: então .
Passo 8
Substituindo os valores encontrados:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Resposta
A solução da equação diferencial é: