Clambda: x^2+(lambda-2) y^2+2 lambda x+2 y+2 lambda-lambda^2=4=0,
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de Clambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente encontrar a equação da reta focal da cônica dada por:
Clambda: x^2+(lambda-2) y^2+2 lambda x+2 y+2 lambda-lambda^2=4
Isso envolve álgebra e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e identificar os parâmetros da cônica para achar a reta focal.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 + 2lambda x + (lambda - 2)y^2 + 2y + (2lambda - lambda^2) = 4 e :
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Para x^2 + 2lambda x = (x + lambda)^2 - lambda^2 :
(lambda - 2)y^2 + 2y = (lambda - 2)(y^2 + 2lambda - 2y)
Para (lambda - 2)[(y + 1lambda - 2)^2 - 1(lambda - 2)^2] = (lambda - 2)(y + 1lambda - 2)^2 - 1lambda - 2 :
Factoring :
Completa o quadrado dentro do parênteses:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + lambda)^2 - lambda^2 + (lambda - 2)(y + 1lambda - 2)^2 - 1lambda - 2 + 2lambda - lambda^2 = 4
Simplificando os termos constantes:
- lambda^2 + 2lambda - lambda^2 - 1lambda - 2 = -2lambda^2 + 2lambda - 1lambda - 2
Então, a equação fica:
(x + lambda)^2 + (lambda - 2)(y + 1lambda - 2)^2 = 4 + 2lambda^2 - 2lambda + 1lambda - 2

Passo 5

Agora, identificamos que a cônica pode ser uma elipse ou hipérbole dependendo do valor de y = -1lambda - 2 . A reta focal está relacionada à orientação da cônica.
Após essa análise, a equação da reta focal é:

Resposta

A equação da reta focal de é .

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