Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: T: R^3->R tal que T(x, y, z)=(x+2 y-3 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função definida por é uma transformação linear. Na aula, a gente viu que uma transformação linear precisa respeitar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar usar essas duas propriedades para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2) + 2(y1 + y2) - 3(z1 + z2) , a função deve satisfazer:
= x1 + x2 + 2y1 + 2y2 - 3z1 - 3z2
Vamos considerar dois vetores quaisquer:
T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 - 3z1) + (x2 + 2y2 - 3z2) = x1 + x2 + 2y1 + 2y2 - 3z1 - 3z2
Calculando :
Simplificando:
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor T(cu) = cT(u) em T(cu) = T(cx, cy, cz) = cx + 2(cy) - 3(cz) = c x + 2c y - 3c z = c(x + 2y - 3z) e qualquer escalar cT(u) = c(x + 2y - 3z) = c x + 2c y - 3c z , a função deve satisfazer:
Vamos calcular :
E :
Novamente, vemos que , então a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que a função é uma transformação linear.

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