Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Na aula, a gente viu que uma transformação linear precisa respeitar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar usar essas duas propriedades para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos testar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores
e
em
, a função deve satisfazer:
Vamos considerar dois vetores quaisquer:
Calculando
:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a propriedade da aditividade está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, a função deve satisfazer:
Vamos calcular
:
E
:
Novamente, vemos que
, então a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que a função
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de
.
a)
paralela à reta
que passa pelo ponto
;
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que