Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função definida por é uma transformação linear. Na aula, a gente viu que uma transformação linear precisa respeitar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar usar essas duas propriedades para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores e em , a função deve satisfazer:
Vamos considerar dois vetores quaisquer:
Calculando :
Simplificando:
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da aditividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor em e qualquer escalar , a função deve satisfazer:
Vamos calcular :
E :
Novamente, vemos que , então a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que a função é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de .
a) paralela à reta que passa pelo ponto ;
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que