Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Vamos verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve obedecer a duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Se ambas as propriedades forem verdadeiras para a função , então é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja e . Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Comparando com , vemos que são iguais. Portanto, a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e . Calculamos :
Portanto, , o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades da aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

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