Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Vamos verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve obedecer a duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Se ambas as propriedades forem verdadeiras para a função
, então
é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Comparando
com
, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Calculamos
:
Portanto,
, o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades da aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que
é uma transformação linear.
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encontrando, nos casos não-degenerados, a equação da reta focal de
.
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