Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: T: R^2->R^2 tal que T(x, y)=(2 x+y, x+3 y)

Passo 1

Vamos verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve obedecer a duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Se ambas as propriedades forem verdadeiras para a função , então é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e T(u + v) = (2(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) + 3(y1 + y2)) . Primeiro, calculamos = (2x1 + 2x2 + y1 + y2, x1 + x2 + 3y1 + 3y2) :
T(u) = (2x1 + y1, x1 + 3y1)
T(v) = (2x2 + y2, x2 + 3y2)
T(u) + T(v) = (2x1 + y1 + 2x2 + y2, x1 + 3y1 + x2 + 3y2)
Agora, calculamos = (2x1 + 2x2 + y1 + y2, x1 + x2 + 3y1 + 3y2) :
Comparando com , vemos que são iguais. Portanto, a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja cu = (cx, cy) um escalar e T(cu) = (2(cx) + cy, cx + 3(cy)) . Calculamos = (2c x + c y, c x + 3c y) :
= c(2x + y, x + 3y)
= cT(u)
Portanto, , o que confirma que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades da aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

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