Classificar cada equação a seguir dizendo se elas são lineares ou não-lineares e indicar também a sua ordem:
y^(3) * y^(5) + x^(2) * y' = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar como linear ou não-linear e também descobrir a sua ordem. A equação é:
Para resolver, vamos precisar saber o que é uma equação linear e como identificar a ordem de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
ou seja, cada termo envolvendo a função ou suas derivadas está multiplicado por uma função que depende só de , e não há termos onde ou suas derivadas são multiplicados entre si ou elevados a alguma potência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada:
Vejamos cada termo:
  1. : Aqui, a terceira derivada de está multiplicada por elevado à quinta potência. Isso já é um sinal de que a equação pode não ser linear, porque temos produtos e potências de .
  2. : Este termo está ok para uma equação linear, já que a primeira derivada de está multiplicada por uma função que depende só de .
  3. : Este é o termo independente, que também está de acordo com uma equação linear.

Passo 4

Como discutimos, a presença de indica que a equação não é linear, porque há uma multiplicação entre a derivada de e elevado a uma potência. Em uma equação linear, não deveriam existir esses tipos de termos.

Passo 5

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação.
Na nossa equação:
A maior derivada é , que é a terceira derivada de . Portanto, a ordem da equação é terceira.

Resposta

A equação é não-linear e tem terceira ordem.

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