Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(b) C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica: . Nosso objetivo aqui é classificar essa cônica, ou seja, descobrir se é uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole. Para isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis e para encontrar o centro da cônica e entender sua posição em relação aos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 - 2x + 4y^2 + 8y = -5 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de ( -22 )^2 = 1 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 2x + 1 - 1 + 4y^2 + 8y = -5 , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x - 1)^2 - 1 + 4y^2 + 8y = -5
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para o termo de 4(y^2 + 2y) . Primeiro, fatoramos o 4 dos termos de ( 22 )^2 = 1 :
4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 4((y + 1)^2 - 1) = 4(y + 1)^2 - 4
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 + 4(y + 1)^2 - 4 = -5 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Agora, substituímos de volta na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação agora:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 5 = -5
Somando 5 dos dois lados:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 = 0
Hmm, isso sugere que a soma dos quadrados é igual a zero, o que só é possível se cada termo for zero:
x - 1 = 0 e y + 1 = 0
Portanto, e .

Resposta

A cônica é um ponto específico localizado no centro . Isso significa que a cônica é uma circunferência degenerada, ou seja, um ponto único no plano.

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Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a interseção da superfĩcie z=-x^2+2 y^2 com o plano tau) x=k é uma parábola com foco por baixo da diretriz.
Considere um triângulo A B C. Sendo M, N e P os pontos médios de A B, B C e C A, respectivamente, exprima B P e M N em função de A B e A C.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se u=v, então u | v.
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(g) C: x^2-8 x+12 y=8.