Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(g) C: x^2-8 x+12 y=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação . Isso significa que precisamos identificar que tipo de figura geométrica estamos lidando (por exemplo, circunferência, elipse, parábola ou hiperbole). Para isso, vamos analisar a equação e usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os componentes principais da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é:
x^2 - 8x + 12y = 8
Nosso objetivo é isolar y para ver a forma que ela assume.

Passo 3

Vamos isolar o termo com y:
12y = -x^2 + 8x + 8
y = -x^2 + 8x + 812
Podemos simplificar dividindo cada termo por 12:
y = -112x^2 + 23x + 23

Passo 4

Observamos que a equação está na forma , que é a forma geral de uma parábola. Portanto, a cônica dada é uma parábola.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Para isso, usamos a fórmula do vértice para parábolas que estão na forma xv = -b2a :
xv = -232 times -112 = -23-16 = 4
Substituindo os valores de a e b:
yv = -112(4)^2 + 23(4) + 23
Agora, substituímos yv = -1612 + 83 + 23 na equação para encontrar yv = -43 + 103 = 2 :
Então, o vértice é (4, 2).

Passo 6

Finalmente, vamos indicar a posição do vértice em relação aos eixos coordenados. Como o vértice está no ponto (4, 2), ele está localizado no primeiro quadrante, pois ambas as coordenadas x e y são positivas.

Resposta

A cônica é uma parábola com vértice no ponto (4, 2), localizado no primeiro quadrante em relação aos eixos coordenados.

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Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
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