Considere um triângulo . Sendo e os pontos médios de e C A, respectivamente, exprima B P e M N em função de A B e A C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial juntos! A questão fala sobre um triângulo ABC e os pontos médios M, N e P dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Precisamos expressar os vetores BP e MN em função dos vetores AB e AC. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ponto médio. O ponto médio de um segmento de reta divide esse segmento em duas partes iguais. Então, se M é o ponto médio de AB, isso significa que AM = 12AB.
Passo 3
Da mesma forma, como P é o ponto médio de CA, temos que AP = 12AC. Agora, queremos expressar BP. Para isso, vamos relacionar os vetores a partir do ponto B.
Passo 4
Sabemos que BP = BA + AP. Aqui, BA é o vetor de B para A, que é o oposto de AB, ou seja, BA = -AB. Substituindo, temos:
BP = -AB + 12AC
Passo 5
Agora, vamos expressar o vetor MN. Primeiro, encontramos M e N. Como M é o ponto médio de AB, AM = 12AB. Analogamente, como N é o ponto médio de BC, temos que BN = 12BC.
Passo 6
Sabemos que BC = AC - AB. Substituindo na expressão de BN:
BN = 12(AC - AB)
Passo 7
Para encontrar MN, usamos:
MN = BN - BM
Sabendo que BM = BA + AM = -AB + 12AB = -12AB, substituímos: