Considere um triângulo A B C. Sendo M, N e P os pontos médios de A B, B C e C A, respectivamente, exprima B P e M N em função de A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial juntos! A questão fala sobre um triângulo ABC e os pontos médios M, N e P dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Precisamos expressar os vetores BP e MN em função dos vetores AB e AC. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ponto médio. O ponto médio de um segmento de reta divide esse segmento em duas partes iguais. Então, se M é o ponto médio de AB, isso significa que AM = 12AB.

Passo 3

Da mesma forma, como P é o ponto médio de CA, temos que AP = 12AC. Agora, queremos expressar BP. Para isso, vamos relacionar os vetores a partir do ponto B.

Passo 4

Sabemos que BP = BA + AP. Aqui, BA é o vetor de B para A, que é o oposto de AB, ou seja, BA = -AB. Substituindo, temos:
BP = -AB + 12AC

Passo 5

Agora, vamos expressar o vetor MN. Primeiro, encontramos M e N. Como M é o ponto médio de AB, AM = 12AB. Analogamente, como N é o ponto médio de BC, temos que BN = 12BC.

Passo 6

Sabemos que BC = AC - AB. Substituindo na expressão de BN:
BN = 12(AC - AB)

Passo 7

Para encontrar MN, usamos:
MN = BN - BM
Sabendo que BM = BA + AM = -AB + 12AB = -12AB, substituímos:
MN = 12(AC - AB) - (-12AB) = 12AC - 12AB + 12AB = 12AC

Resposta

boxed BP &= -,AB + tfrac12, AC MN &= tfrac12, AC

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