Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a interseção da superfĩcie z=-x^2+2 y^2 com o plano tau) x=k é uma parábola com foco por baixo da diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a interseção da superfície com o plano resulta numa parábola com o foco abaixo da diretriz. Pra resolver isso, vamos precisar usar geometria analítica, especificamente o estudo de parábolas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa intersecar a superfície com o plano . Isso quer dizer que vamos substituir por na equação da superfície para obter a equação da curva de interseção.

Passo 3

Substituindo z = -k^2 + 2 y^2 na equação da superfície:
Essa é a equação da curva de interseção no plano .

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para deixar mais fácil de identificar o tipo de curva:
z = 2 y^2 - k^2
Podemos ver que isso se parece com a equação de uma parábola na forma , onde e .

Passo 5

Sabemos que a forma geral de uma parábola vertical é:
(y - h)^2 = 4 p (z - k)
Comparando com a nossa equação y^2 = 12 z + k^22 , podemos rearrumar para:
Assim, , então .

Passo 6

O parâmetro determina a posição do foco em relação à diretriz. Neste caso, como , o foco está acima da diretriz.

Passo 7

Como o enunciado afirma que o foco está abaixo da diretriz, isso contraria o que encontramos.

Resposta

Falsa. A interseção resulta numa parábola com o foco acima da diretriz, não abaixo.

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