Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a interseção da superfĩcie com o plano é uma parábola com foco por baixo da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a interseção da superfície com o plano resulta numa parábola com o foco abaixo da diretriz. Pra resolver isso, vamos precisar usar geometria analítica, especificamente o estudo de parábolas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa intersecar a superfície com o plano . Isso quer dizer que vamos substituir por na equação da superfície para obter a equação da curva de interseção.
Passo 3
Substituindo na equação da superfície:
Essa é a equação da curva de interseção no plano .
Passo 4
Vamos reescrever essa equação para deixar mais fácil de identificar o tipo de curva:
Podemos ver que isso se parece com a equação de uma parábola na forma , onde e .
Passo 5
Sabemos que a forma geral de uma parábola vertical é:
Comparando com a nossa equação , podemos rearrumar para:
Assim, , então .
Passo 6
O parâmetro determina a posição do foco em relação à diretriz. Neste caso, como , o foco está acima da diretriz.
Passo 7
Como o enunciado afirma que o foco está abaixo da diretriz, isso contraria o que encontramos.
Resposta
Falsa. A interseção resulta numa parábola com o foco acima da diretriz, não abaixo.