(|ta 2011) Dado z=12(-1+raiz3 i), então sumn=1^50 z^n é igual a:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e precisamos calcular a soma das potências desse número de até , ou seja, .
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é o próprio número . Vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma progressão geométrica para resolver essa soma.

Passo 2

A fórmula da soma de uma progressão geométrica finita é:
S = z cdot 1 - z^N1 - z
onde:
  • S = z cdot 1 - z^501 - z é a soma das potências,
  • é a razão da progressão geométrica,
  • é o número de termos.
No nosso caso, , então substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos analisar o número z^3 = 1 . Observando , percebemos que ele é um número complexo da unidade, ou seja, . Além disso, esse número é uma das raízes cúbicas da unidade, o que significa que:
Isso é importante porque vai simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Como 50 = 3 times 16 + 2 , podemos simplificar z^50 = z^3 times 16 + 2 = (z^3)^16 cdot z^2 = 1^16 cdot z^2 = z^2 .
Dividindo 50 por 3, temos:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos S = z cdot 1 - z^21 - z por 1 - z^2 = (1 - z)(1 + z) na fórmula da soma:
1 - z^21 - z = 1 + z
Vamos simplificar a expressão S = z cdot (1 + z) = z + z^2 . Isso pode ser feito fatorando o numerador:
Então,
Portanto, a soma fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular z = -1 + raiz3i2 .
Sabemos que:
z^2 = ( -1 + raiz3i2 )^2 = (-1)^2 + 2(-1)(raiz3i) + (raiz3i)^24 = 1 - 2raiz3i - 34 = -2 - 2raiz3i4 = -1 - raiz3i2
Calculando z + z^2 = -1 + raiz3i2 + -1 - raiz3i2 = -22 = -1 :
Então,

Resposta

sumn=1^50 z^n = -1

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