Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(a) .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação de uma cônica: . Precisamos classificar que tipo de cônica é essa, encontrar as coordenadas do centro (ou vértice) e ver como ela está posicionada em relação aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos completar o quadrado e reescrever a equação na forma padrão das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de e os termos de :
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de separadamente.
Para o :
Podemos completar o quadrado adicionando e subtraindo :
Para o :
Primeiro, fatoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Adicionamos e subtraímos :
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo por 4 para obter a equação na forma padrão:
Passo 6
Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes dos termos quadráticos são positivos e diferentes.
As coordenadas do centro da elipse são .
Resposta
A cônica é uma elipse com centro no ponto , posicionada de forma que o eixo maior está paralelo ao eixo e o eixo menor está paralelo ao eixo .