Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(a) C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+1=0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação de uma cônica: x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0. Precisamos classificar que tipo de cônica é essa, encontrar as coordenadas do centro (ou vértice) e ver como ela está posicionada em relação aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos completar o quadrado e reescrever a equação na forma padrão das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de x e os termos de y:
(x^2 - 2x) + (4y^2 + 8y) + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y separadamente.
Para o x:
x^2 - 2x
Podemos completar o quadrado adicionando e subtraindo (-22)^2 = 1:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para o y:
4y^2 + 8y
Primeiro, fatoramos o 4:
4(y^2 + 2y)
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses. Adicionamos e subtraímos (22)^2 = 1:
4(y^2 + 2y) = 4[(y + 1)^2 - 1] = 4(y + 1)^2 - 4

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4(y + 1)^2 - 4 + 1 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 4 = 0

Passo 5

Isolando os termos quadráticos:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 = 4
Dividindo por 4 para obter a equação na forma padrão:
(x - 1)^24 + (y + 1)^21 = 1

Passo 6

Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes dos termos quadráticos são positivos e diferentes.
As coordenadas do centro da elipse são (1, -1).

Resposta

A cônica é uma elipse com centro no ponto (1, -1), posicionada de forma que o eixo maior está paralelo ao eixo x e o eixo menor está paralelo ao eixo y.

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
|ccx & x+2 5 & 7|=0
Se A=(cc2 & -1 4 & 5), calcule o valor do determinante de (A^27-2 A).
Resolva as equações:
|llx & x 5 & x|=0
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(f) C: y^2-4 y+8 x-4=0.