Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica dada pela equação
. Para isso, vamos identificar que tipo de cônica é essa, encontrar o centro dela e ver como ela está posicionada em relação aos eixos coordenados. Vamos usar conteúdos de álgebra, como completar o quadrado, para simplificar a equação e facilitar a classificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão da cônica.
Para o
:
Para o
:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Passo 5
A equação resultante
é uma forma peculiar. Geralmente, a diferença de quadrados indica uma hipérbole, mas igualar a zero sugere que a cônica pode ser degenerada ou representar linhas. No caso específico, podemos reescrever a equação como:
Isso nos dá duas retas:
e
, que são linhas diagonais. Portanto, a cônica é degenerada em duas retas.
Passo 6
Mesmo sendo duas retas, podemos identificar o ponto de interseção delas, que atua como “centro” no contexto das cônicas. Igualando as duas equações das retas:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 7
As retas resultantes são
e
. Elas cruzam o ponto
e estão inclinadas em relação aos eixos
e
, formando um “X” centralizado nesse ponto.
Resposta
A cônica dada é uma cônica degenerada composta por duas retas
e
que se intersectam no ponto
. Esse ponto atua como o “centro” da cônica, e as retas estão inclinadas em relação aos eixos coordenados.