Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(e) C: x^2-y^2-2 x-4 y-3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos identificar que tipo de cônica é essa, encontrar o centro dela e ver como ela está posicionada em relação aos eixos coordenados. Vamos usar conteúdos de álgebra, como completar o quadrado, para simplificar a equação e facilitar a classificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 2x - y^2 - 4y = 3 e de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 e de -y^2 - 4y = -1(y^2 + 4y) = -1[(y^2 + 4y + 4) - 4] = - (y + 2)^2 + 4 . Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão da cônica.
Para o :
Para o :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 - (y + 2)^2 + 4 = 3
Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 - (y + 2)^2 + 3 = 3
Subtraindo 3 de ambos os lados:
(x - 1)^2 - (y + 2)^2 = 0

Passo 5

A equação resultante (x - 1)^2 = (y + 2)^2 é uma forma peculiar. Geralmente, a diferença de quadrados indica uma hipérbole, mas igualar a zero sugere que a cônica pode ser degenerada ou representar linhas. No caso específico, podemos reescrever a equação como:
Isso nos dá duas retas: e , que são linhas diagonais. Portanto, a cônica é degenerada em duas retas.

Passo 6

Mesmo sendo duas retas, podemos identificar o ponto de interseção delas, que atua como “centro” no contexto das cônicas. Igualando as duas equações das retas:
x - 1 = y + 2 x - 1 = - (y + 2)
Somando as duas equações:
2(x - 1) = 0 Rightarrow x = 1
Substituindo na primeira equação:
1 - 1 = y + 2 Rightarrow y = -2
Então, o ponto de interseção é .

Passo 7

As retas resultantes são e . Elas cruzam o ponto e estão inclinadas em relação aos eixos e , formando um “X” centralizado nesse ponto.

Resposta

A cônica dada é uma cônica degenerada composta por duas retas e que se intersectam no ponto . Esse ponto atua como o “centro” da cônica, e as retas estão inclinadas em relação aos eixos coordenados.

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