Seja o espaço vetorial . Pede-se:
a) Determinar seu subespaço gerado pelos vetores:
b) Determinar k para que o vetor pertença ao subespaço encontrado no item a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais no espaço das matrizes 2x2 com números reais, denotado por . A gente vai precisar usar conceitos de combinação linear e ver se uma matriz específica pertence ao subespaço gerado por outras matrizes. O exercício tem duas partes:
a) Encontrar o subespaço gerado pelas matrizes , e .
b) Determinar o valor de para que uma matriz específica pertença a esse subespaço.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as matrizes que geram o subespaço:
Nosso objetivo é encontrar todas as combinações lineares dessas matrizes, ou seja, todas as matrizes que podem ser escritas como:
onde , e são números reais.
Passo 3
Vamos calcular essa combinação linear:
Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Passo 4
Para entender melhor, vamos expressar cada entrada da matriz resultante em função de , e :
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Isso significa que o subespaço é formado por todas as matrizes onde:
Passo 5
Agora, para simplificar, podemos expressar as variáveis , e em termos das entradas da matriz :
De , temos .
De , temos .
Substituindo e nas outras equações:
→ .
→ .
Portanto, qualquer matriz no subespaço deve satisfazer:
Passo 6
Isso define o subespaço gerado por , e . Ou seja, o subespaço consiste em todas as matrizes 2x2 que satisfazem a condição acima.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar o valor de para que a matriz:
pertença ao subespaço que encontramos.
Passo 8
Para isso, vamos aplicar a condição que derivamos:
Substituindo os valores da matriz dada:
Passo 9
Resolvendo essa equação para :
Resposta
O valor de deve ser 5 para que a matriz pertença ao subespaço gerado pelos vetores , e .