Seja o espaço vetorial . Pede-se:
a) Determinar seu subespaço gerado pelos vetores:
b) Determinar k para que o vetor pertença ao subespaço encontrado no item a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de álgebra linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais no espaço das matrizes 2x2 com números reais, denotado por . A gente vai precisar usar conceitos de combinação linear e ver se uma matriz específica pertence ao subespaço gerado por outras matrizes. O exercício tem duas partes:
a) Encontrar o subespaço gerado pelas matrizes , e .
b) Determinar o valor de para que uma matriz específica pertença a esse subespaço.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as matrizes que geram o subespaço:
Nosso objetivo é encontrar todas as combinações lineares dessas matrizes, ou seja, todas as matrizes que podem ser escritas como:
onde , e são números reais.

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear:
Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:

Passo 4

Para entender melhor, vamos expressar cada entrada da matriz resultante em função de , e :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Isso significa que o subespaço é formado por todas as matrizes onde:

Passo 5

Agora, para simplificar, podemos expressar as variáveis , e em termos das entradas da matriz :
  • De , temos .
  • De , temos .
  • Substituindo e nas outras equações:
    • .
    • .
Portanto, qualquer matriz no subespaço deve satisfazer:

Passo 6

Isso define o subespaço gerado por , e . Ou seja, o subespaço consiste em todas as matrizes 2x2 que satisfazem a condição acima.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar o valor de para que a matriz:
pertença ao subespaço que encontramos.

Passo 8

Para isso, vamos aplicar a condição que derivamos:
Substituindo os valores da matriz dada:

Passo 9

Resolvendo essa equação para :

Resposta

O valor de deve ser 5 para que a matriz pertença ao subespaço gerado pelos vetores , e .

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(a)
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(e) .