Sejam W1=(x, y, z) in R^3 / y-2 z=0 e W2=[(1,1,0) ;(0,0,2)] subespaços do R^3. Exiba uma base e dê a dimensão para W1 cap W2 e W1+W2 W1 oplus W2=R^3 (soma direta)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais e em . Precisamos encontrar uma base e a dimensão da interseção e da soma . Além disso, vamos verificar se a soma direta resulta em . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços, interseção, soma de subespaços, bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e .
  • : Esse é um subespaço de definido pela equação linear . Ele representa um plano no espaço tridimensional.
  • : Esse é o subespaço gerado pelas combinações lineares dos vetores e . Também é um plano em .
Vamos precisar encontrar vetores que pertencem tanto a quanto a para a interseção, e combinar os vetores de e para a soma.

Passo 3

Vamos encontrar a - 2(2b) = 0 , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.
Para isso, consideramos um vetor a - 4b = 0 . Esse vetor deve satisfazer a condição de a = 4b : v = 4b(1,1,0) + b(0,0,2) = (4b, 4b, 2b) .
Substituindo:
v = b(4, 4, 2)
Então, podemos expressar em termos de :
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .

Passo 4

Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de (4,4,2) .
Como vimos, é formado por todos os múltiplos de . Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, ou seja, 1.

Passo 5

Vamos agora encontrar (x, 2z, z) + a(1,1,0) + b(0,0,2) = (x + a, 2z + a, z + 2b) , a soma dos subespaços dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) = 2 + 2 - 1 = 3 e .
A soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
  • é definido por . Podemos expressar os vetores de como , onde e são livres.
  • é gerado por e .
Somando esses, qualquer vetor em será:
Para determinar a dimensão, observamos que tem dimensão 2 (é um plano) e também tem dimensão 2. A interseção tem dimensão 1, então pela fórmula da dimensão da soma:
Como também tem dimensão 3, concluímos que .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a soma é direta, ou seja, se .
Para que a soma seja direta, a interseção deve conter apenas o vetor zero. Porém, já vimos que é gerado por , que não é o vetor zero.
Portanto, a soma não é direta.

Resposta

  • Base de :
  • Dimensão de : 1
  • Base de : Uma base que gera pode ser
  • Dimensão de : 3
  • Soma direta : Não, pois não é trivial.

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