Sejam
e
subespaços do
. Exiba uma base e dê a dimensão para
e
(soma direta)? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais
e
em
. Precisamos encontrar uma base e a dimensão da interseção
e da soma
. Além disso, vamos verificar se a soma direta
resulta em
. Para isso, vamos usar conceitos de subespaços, interseção, soma de subespaços, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
.
-
: Esse é um subespaço de definido pela equação linear . Ele representa um plano no espaço tridimensional. -
: Esse é o subespaço gerado pelas combinações lineares dos vetores e . Também é um plano em .
Vamos precisar encontrar vetores que pertencem tanto a
quanto a
para a interseção, e combinar os vetores de
e
para a soma.
Passo 3
Vamos encontrar
, ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.
Para isso, consideramos um vetor
. Esse vetor deve satisfazer a condição de
:
.
Substituindo:
Então, podemos expressar
em termos de
:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor
.
Passo 4
Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de
.
Como vimos,
é formado por todos os múltiplos de
. Portanto, uma base para
é:
A dimensão de
é o número de vetores na base, ou seja, 1.
Passo 5
Vamos agora encontrar
, a soma dos subespaços
e
.
A soma
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
-
é definido por . Podemos expressar os vetores de como , onde e são livres. -
é gerado por e .
Somando esses, qualquer vetor em
será:
Para determinar a dimensão, observamos que
tem dimensão 2 (é um plano) e
também tem dimensão 2. A interseção tem dimensão 1, então pela fórmula da dimensão da soma:
Como
também tem dimensão 3, concluímos que
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a soma é direta, ou seja, se
.
Para que a soma seja direta, a interseção
deve conter apenas o vetor zero. Porém, já vimos que
é gerado por
, que não é o vetor zero.
Portanto, a soma não é direta.
Resposta
- Base de
: - Dimensão de
: 1 - Base de
: Uma base que gera pode ser - Dimensão de
: 3 - Soma direta
: Não, pois não é trivial.