Sejam e subespaços do . Exiba uma base e dê a dimensão para e (soma direta)? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais e em . Precisamos encontrar uma base e a dimensão da interseção e da soma . Além disso, vamos verificar se a soma direta resulta em . Para isso, vamos usar conceitos de subespaços, interseção, soma de subespaços, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e .
: Esse é um subespaço de definido pela equação linear . Ele representa um plano no espaço tridimensional.
: Esse é o subespaço gerado pelas combinações lineares dos vetores e . Também é um plano em .
Vamos precisar encontrar vetores que pertencem tanto a quanto a para a interseção, e combinar os vetores de e para a soma.
Passo 3
Vamos encontrar , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços.
Para isso, consideramos um vetor . Esse vetor deve satisfazer a condição de : .
Substituindo:
Então, podemos expressar em termos de :
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .
Passo 4
Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de .
Como vimos, é formado por todos os múltiplos de . Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, ou seja, 1.
Passo 5
Vamos agora encontrar , a soma dos subespaços e .
A soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
é definido por . Podemos expressar os vetores de como , onde e são livres.
é gerado por e .
Somando esses, qualquer vetor em será:
Para determinar a dimensão, observamos que tem dimensão 2 (é um plano) e também tem dimensão 2. A interseção tem dimensão 1, então pela fórmula da dimensão da soma:
Como também tem dimensão 3, concluímos que .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a soma é direta, ou seja, se .
Para que a soma seja direta, a interseção deve conter apenas o vetor zero. Porém, já vimos que é gerado por , que não é o vetor zero.