Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(b) integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^2 integral0^4 - x^2 x e^2 y4 - y , dy , dx
O objetivo é inverter a ordem de integração e, em seguida, calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como representá-los ao inverter a ordem.

Passo 2

Vamos começar desenhando a região de integração no plano XY. Os limites de são de 0 a 2, e, para cada , varia de 0 a .
Isso significa que a área de integração está limitada pela curva , pelo eixo e pelo intervalo de de 0 a 2.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x^2 = 4 - y x = raiz4 - y em termos de . Observando a equação , podemos resolver para :
Assim, para cada , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os novos limites para . Como varia de 0 a 2, e varia de 0 a , o valor máximo de ocorre quando : . Portanto, varia de 0 a 4.

Passo 5

Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^2 y4 - y , dx , dy

Passo 6

Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz4 - y x e^2 y4 - y , dx :
e^2 y4 - y integral0^raiz4 - y x , dx
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirá-la de dentro da integral:

Passo 7

Calculando a integral de integral x , dx = x^22 em relação a e^2 y4 - y [ x^22 ]0^raiz4 - y = e^2 y4 - y cdot (4 - y)2 = e^2 y2 :
Então,

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral principal:
integral0^4 e^2 y2 , dy
Podemos tirar a constante 12 integral0^4 e^2 y , dy para fora:

Passo 9

Calculando a integral de integral e^2 y , dy = e^2 y2 em relação a 12 [ e^2 y2 ]0^4 = 14 ( e^8 - e^0 ) = 14 ( e^8 - 1 ) :
Então,

Resposta

O valor da integral é:
e^8 - 14

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