Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é inverter a ordem de integração e, em seguida, calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como representá-los ao inverter a ordem.
Passo 2
Vamos começar desenhando a região de integração no plano XY. Os limites de
são de 0 a 2, e, para cada
,
varia de 0 a
.
Isso significa que a área de integração está limitada pela curva
, pelo eixo
e pelo intervalo de
de 0 a 2.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a equação
, podemos resolver para
:
Assim, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os novos limites para
. Como
varia de 0 a 2, e
varia de 0 a
, o valor máximo de
ocorre quando
:
. Portanto,
varia de 0 a 4.
Passo 5
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Passo 6
Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-la de dentro da integral:
Passo 7
Calculando a integral de
em relação a
:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral principal:
Podemos tirar a constante
para fora:
Passo 9
Calculando a integral de
em relação a
:
Então,
Resposta
O valor da integral é: