Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é inverter a ordem de integração e, em seguida, calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como representá-los ao inverter a ordem.

Passo 2

Vamos começar desenhando a região de integração no plano XY. Os limites de são de 0 a 2, e, para cada , varia de 0 a .
Isso significa que a área de integração está limitada pela curva , pelo eixo e pelo intervalo de de 0 a 2.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a equação , podemos resolver para :
Assim, para cada , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os novos limites para . Como varia de 0 a 2, e varia de 0 a , o valor máximo de ocorre quando : . Portanto, varia de 0 a 4.

Passo 5

Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Passo 6

Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a :
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirá-la de dentro da integral:

Passo 7

Calculando a integral de em relação a :
Então,

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral principal:
Podemos tirar a constante para fora:

Passo 9

Calculando a integral de em relação a :
Então,

Resposta

O valor da integral é:

Exercícios relacionados

Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
c) ;
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
a) ;
2
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
a) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
b) ;