Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é inverter a ordem de integração e, em seguida, calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como representá-los ao inverter a ordem.
Passo 2
Vamos começar desenhando a região de integração no plano XY. Os limites de
são de 0 a 2, e, para cada
,
varia de 0 a
.
Isso significa que a área de integração está limitada pela curva
, pelo eixo
e pelo intervalo de
de 0 a 2.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a equação
, podemos resolver para
:
Assim, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os novos limites para
. Como
varia de 0 a 2, e
varia de 0 a
, o valor máximo de
ocorre quando
:
. Portanto,
varia de 0 a 4.
Passo 5
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Passo 6
Vamos agora calcular essa integral. Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-la de dentro da integral:
Passo 7
Calculando a integral de
em relação a
:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral principal:
Podemos tirar a constante
para fora:
Passo 9
Calculando a integral de
em relação a
:
Então,
Resposta
O valor da integral é:
Exercícios relacionados
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
c) ;
c)
Classificar as equações diferenciais quanto ao tipo, a linearidade, a ordem e o grau:
a) ;
a)
2
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
a) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
a)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
b)