Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de R em R.
f(x)=x+|x|

Passo 1

Beleza! Vamos ver essa questão de classificar a função de para como injetora ou sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são funções injetoras e sobrejetoras e aplicar esses conceitos para analisar a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada par de elementos diferentes no domínio, os seus correspondentes no contradomínio também forem diferentes. Em outras palavras, se implica que .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo em , existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

Vamos analisar a injetividade da função . Primeiro, observamos que o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo. Portanto:
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .
Agora, vemos que para qualquer , . Isso significa que múltiplos valores de (todos os negativos) resultam no mesmo , que é 0. Portanto, a função não é injetora porque diferentes valores de estão mapeando para o mesmo valor de .

Passo 5

Vamos agora verificar a sobrejetividade. Precisamos ver se para todo em , existe um tal que .
Considerando os dois casos:
  1. Para :
    • Se , então . Podemos resolver para : , que é válido porque .
  2. Para :
    • Se , então , então satisfaz .
  3. Para :
    • Não existe nenhum em tal que , porque nunca é negativo (já que para e para ).
Portanto, a função não é sobrejetora porque não cobre todos os valores em , especificamente os números negativos não são atingidos.

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora.

Exercícios relacionados