Classificar (se possível) em injetora ou sobrejetora as seguintes funções de
em
.
Passo 1
Beleza! Vamos ver essa questão de classificar a função
de
para
como injetora ou sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são funções injetoras e sobrejetoras e aplicar esses conceitos para analisar a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada par de elementos diferentes no domínio, os seus correspondentes no contradomínio também forem diferentes. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Vamos analisar a injetividade da função
. Primeiro, observamos que o valor absoluto
sempre resulta em um número não negativo. Portanto:
- Se
, então , então . - Se
, então , então .
Agora, vemos que para qualquer
,
. Isso significa que múltiplos valores de
(todos os negativos) resultam no mesmo
, que é 0. Portanto, a função não é injetora porque diferentes valores de
estão mapeando para o mesmo valor de
.
Passo 5
Vamos agora verificar a sobrejetividade. Precisamos ver se para todo
em
, existe um
tal que
.
Considerando os dois casos:
-
Para
: - Se
, então . Podemos resolver para : , que é válido porque .
- Se
-
Para
: - Se
, então , então satisfaz .
- Se
-
Para
: - Não existe nenhum
em tal que , porque nunca é negativo (já que para e para ).
- Não existe nenhum
Portanto, a função não é sobrejetora porque não cobre todos os valores em
, especificamente os números negativos não são atingidos.
Resposta
A função
não é injetora nem sobrejetora.