Sejam e . Determine uma condição necessária e suficiente, sobre e pa que os vetores e sejam li.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional:
A matéria que vamos usar aqui é a álgebra vetorial, especificamente o conceito de independência linear. Para determinar se os vetores são linearmente independentes, precisamos verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada coluna representa um vetor:
Aqui, cada coluna corresponde a u, v e w, respectivamente.
Passo 3
Para verificar a independência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 1 & y 1 & z - 1 cdot 1 & y 0 & z + x cdot 1 & 1 0 & 1
Resolvendo os menores:
det(A) = 1 cdot (1 cdot z - y cdot 1) - 1 cdot (1 cdot z - y cdot 0) + x cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0)
det(A) = (z - y) - z + x cdot 1
det(A) = z - y - z + x
det(A) = x - y
Passo 4
Agora, para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante precisa ser diferente de zero:
x - y neq 0
Isso significa que x deve ser diferente de y.
Resposta
A condição necessária e suficiente é que x seja diferente de y, ou seja, x neq y.