Sejam u=i+j, v=i+j+k e w=x i+y j+z k. Determine uma condição necessária e suficiente, sobre x, y e z pa que os vetores u, v e w sejam li.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional:
  • u = i + j
  • v = i + j + k
  • w = x i + y j + z k
A matéria que vamos usar aqui é a álgebra vetorial, especificamente o conceito de independência linear. Para determinar se os vetores são linearmente independentes, precisamos verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada coluna representa um vetor:
A = 1 & 1 & x 1 & 1 & y 0 & 1 & z
Aqui, cada coluna corresponde a u, v e w, respectivamente.

Passo 3

Para verificar a independência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 1 & y 1 & z - 1 cdot 1 & y 0 & z + x cdot 1 & 1 0 & 1
Resolvendo os menores:
det(A) = 1 cdot (1 cdot z - y cdot 1) - 1 cdot (1 cdot z - y cdot 0) + x cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0)
det(A) = (z - y) - z + x cdot 1
det(A) = z - y - z + x
det(A) = x - y

Passo 4

Agora, para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante precisa ser diferente de zero:
x - y neq 0
Isso significa que x deve ser diferente de y.

Resposta

A condição necessária e suficiente é que x seja diferente de y, ou seja, x neq y.

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