Sejam u=[3,2,1], v=[x-1, x+1,-1] e w=[x+1, x-1,1]. Para que valores de x os vetores u, v e w são ld?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de os vetores , e são linearmente dependentes (ld). Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente à verificação de dependência linear entre vetores. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e encontrar os valores de que fazem esse determinante ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz usando os vetores 3 & x-1 & x+1 2 & x+1 & x-1 1 & -1 & 1 , e como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que, se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Determinante = 3 cdot x+1 & x-1 -1 & 1 - (x-1) cdot 2 & x-1 1 & 1 + (x+1) cdot 2 & x+1 1 & -1

Passo 4

Vamos calcular cada um dos menores:
  1. Primeiro menor:
x+1 & x-1 -1 & 1 = (x+1)(1) - (x-1)(-1) = x + 1 + x - 1 = 2x
  1. Segundo menor:
2 & x-1 1 & 1 = 2 cdot 1 - (x-1) cdot 1 = 2 - x + 1 = 3 - x
  1. Terceiro menor:
2 & x+1 1 & -1 = 2 cdot (-1) - (x+1) cdot 1 = -2 - x - 1 = -x - 3

Passo 5

Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
Determinante = 3 cdot (2x) - (x-1) cdot (3 - x) + (x+1) cdot (-x - 3)
= 6x - (x-1)(3 - x) + (x+1)(-x - 3)

Passo 6

Vamos expandir os termos:
(x-1)(3 - x) = 3x - x^2 - 3 + x = -x^2 + 4x - 3
(x+1)(-x - 3) = -x^2 - 3x - x - 3 = -x^2 - 4x - 3
Substituindo de volta:
Determinante = 6x - (-x^2 + 4x - 3) + (-x^2 - 4x - 3)
= 6x + x^2 - 4x + 3 - x^2 - 4x - 3

Passo 7

Simplificando os termos:
6x - 4x - 4x + x^2 - x^2 + 3 - 3 = -2x

Passo 8

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
-2x = 0 implies x = 0

Resposta

O valor de que torna os vetores , e linearmente dependentes é .

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