Verifique que os vetores u=[1,1,1], v=[-1,1,0] e w=[1,0,-1] formam uma base para R^3 e determine as coordenadas do vetor a=[2,1,-2] nessa base

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores , e formam uma base para . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem “gerar” todo o espaço tridimensional. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Para verificar se , e formam uma base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Uma maneira prática de fazer isso é colocando esses vetores como colunas em uma matriz e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz com A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 , det(A) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) - (-1) cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) e det(A) = 1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1) + 1 cdot (-1) como colunas:
det(A) = -1 - 1 -1 = -3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores, temos:
Como o determinante é , que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Passo 4

Agora que sabemos que a = xu + yv + zw , [2,1,-2] = x[1,1,1] + y[-1,1,0] + z[1,0,-1] e x - y + z = 2 x + y = 1 x - z = -2 formam uma base, vamos encontrar as coordenadas do vetor x = 1 - y nessa base. Isso significa que queremos encontrar números (1 - y) - z = -2 Rightarrow -y - z = -3 Rightarrow y + z = 3 (1) , (1 - y) - y + z = 2 Rightarrow 1 - 2y + z = 2 Rightarrow -2y + z = 1 (2) e y + z = 3 (1) -2y + z = 1 (2) tais que:
-2y + z - (y + z) = 1 - 3 -3y = -2 Rightarrow y = 23
Substituindo os valores dos vetores, temos:
23 + z = 3 Rightarrow z = 3 - 23 = 73
Isso resulta em um sistema de equações:
x = 1 - 23 = 13
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na terceira equação:
Também substituímos na primeira equação:
Agora, temos duas equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Finalmente, substituímos de volta na expressão para :

Resposta

As coordenadas do vetor na base formada por , e são .

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