Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo . Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de ortogonalidade de funções e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser ortogonal. Duas funções são ortogonais em um intervalo se a integral do produto delas nesse intervalo for zero. Ou seja, para duas funções e ,
Isso significa que elas são “perpendiculares” no espaço das funções.
Passo 3
Vamos verificar a ortogonalidade entre todas as combinações das funções do conjunto:
Constante e :
Constante e :
e :
Vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 4
1. Constante e :
Porque para qualquer inteiro .
Passo 5
2. Constante e :
Pois , então a diferença é zero.
Passo 6
3. e :
Sabemos que o produto de uma função cosseno e seno integrado em um intervalo simétrico em torno de zero também resulta em zero, devido à paridade das funções. Matemáticamente:
Passo 7
Como todas as integrais dos produtos diferentes resultaram em zero, isso confirma que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo .
Passo 8
Agora, vamos calcular a norma de cada função. A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular para cada função do conjunto.
Passo 9
1. Norma da constante :
Passo 10
2. Norma de :
Usando a identidade trigonométrica :
Porque a integral de sobre é zero.
Passo 11
3. Norma de :
Usando a identidade trigonométrica :
Mais uma vez, a integral de sobre é zero.
Resposta
O conjunto de funções é ortogonal no intervalo . As normas de cada função são: