Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo . Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de ortogonalidade de funções e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser ortogonal. Duas funções são ortogonais em um intervalo se a integral do produto delas nesse intervalo for zero. Ou seja, para duas funções e ,
Isso significa que elas são “perpendiculares” no espaço das funções.

Passo 3

Vamos verificar a ortogonalidade entre todas as combinações das funções do conjunto:
  1. Constante e :
  1. Constante e :
  1. e :
Vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 4

1. Constante e :
Porque para qualquer inteiro .

Passo 5

2. Constante e :
Pois , então a diferença é zero.

Passo 6

3. e :
Sabemos que o produto de uma função cosseno e seno integrado em um intervalo simétrico em torno de zero também resulta em zero, devido à paridade das funções. Matemáticamente:

Passo 7

Como todas as integrais dos produtos diferentes resultaram em zero, isso confirma que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo .

Passo 8

Agora, vamos calcular a norma de cada função. A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular para cada função do conjunto.

Passo 9

1. Norma da constante :

Passo 10

2. Norma de :
Usando a identidade trigonométrica :
Porque a integral de sobre é zero.

Passo 11

3. Norma de :
Usando a identidade trigonométrica :
Mais uma vez, a integral de sobre é zero.

Resposta

O conjunto de funções é ortogonal no intervalo . As normas de cada função são:
  • Norma de :
  • Norma de :
  • Norma de :

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Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
d)
Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2) .
Rpt.