Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente precisa classificar a equação diferencial que foi dada, verificando três coisas: a ordem, o grau e se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre equações diferenciais e entender o que cada termo representa na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela derivada de maior ordem que aparece nela. Na equação que temos:
A derivada de maior ordem é
, que é a terceira derivada de
. Portanto, a ordem da equação é 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o grau da equação. O grau de uma equação diferencial é o expoente da derivada de maior ordem, desde que a equação seja polinomial em relação a
e suas derivadas. Olhando de novo para a nossa equação:
A parte
mostra que temos um termo onde a derivada
está elevada ao quadrado. Isso significa que a equação não é polinomial em
e suas derivadas, já que temos uma potência maior que 1 em
. Portanto, a equação não tem grau definido.
Passo 4
Por último, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes
dependem apenas de
e não de
ou suas derivadas, e as potências de
e suas derivadas são de primeiro grau.
Na nossa equação:
O termo
envolve
e
elevados a potências maiores que 1, o que torna a equação não linear.
Resposta
A equação
é de terceira ordem, não polinomial (sem grau definido) e não linear.
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Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
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Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
a)
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e)
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