Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
a) y'' + lambda y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar os autovalores e as autofunções de uma equação diferencial com condições de contorno. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e entender o que são autovalores e autofunções nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar valores de lambda (autovalores) para os quais a equação tem soluções não triviais (autofunções) que atendem às condições de contorno .

Passo 3

Dependendo do valor de lambda, a solução da equação diferencial pode ter diferentes formas. Vamos analisar os casos possíveis:

Passo 4

Caso 1:
A equação fica:
Integrando duas vezes:
Aplicando as condições de contorno:
A única solução �� trivial ( ), então não é um autovalor.

Passo 5

Caso 2:
Vamos chamar , onde . A equação fica:
A solução geral é:

Passo 6

Aplicando as condições de contorno:
Então, e a solução simplifica para:
Para que haja solução não trivial ( B != 0), precisamos que:
onde n é um número inteiro positivo.

Passo 7

Então, os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:
Podemos escolher B de acordo com a normalização, mas geralmente consideramos para simplificar.

Passo 8

Caso 3:
Vamos chamar , onde . A equação fica:
A solução geral é:
Aplicando as condições de contorno:
Então, a solução fica:
A função nunca é zero para , então não há soluções não triviais nesse caso.

Resposta

Os autovalores são para e as autofunções correspondentes são .

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