Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar os autovalores e as autofunções de uma equação diferencial com condições de contorno. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e entender o que são autovalores e autofunções nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar valores de
(autovalores) para os quais a equação tem soluções não triviais (autofunções) que atendem às condições de contorno
.
Passo 3
Dependendo do valor de
, a solução da equação diferencial pode ter diferentes formas. Vamos analisar os casos possíveis:
Passo 4
Caso 1:
A equação fica:
Integrando duas vezes:
Aplicando as condições de contorno:
A única solução �� trivial (
), então
não é um autovalor.
Passo 5
Caso 2:
Vamos chamar
, onde
. A equação fica:
A solução geral é:
Passo 6
Aplicando as condições de contorno:
Então,
e a solução simplifica para:
Para que haja solução não trivial (
), precisamos que:
onde
é um número inteiro positivo.
Passo 7
Então, os autovalores são:
E as autofunções correspondentes são:
Podemos escolher
de acordo com a normalização, mas geralmente consideramos
para simplificar.
Passo 8
Caso 3:
Vamos chamar
, onde
. A equação fica:
A solução geral é:
Aplicando as condições de contorno:
Então, a solução fica:
A função
nunca é zero para
, então não há soluções não triviais nesse caso.
Resposta
Os autovalores são
para
e as autofunções correspondentes são
.