Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação diferencial
. A solução da equação homogênea associada é
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para achar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função específica, como um polinômio.
Passo 2
Primeiro, observamos que o lado direito da equação,
, é um polinômio de segundo grau. Quando o termo não está presente na solução homogênea, assumimos que a solução particular também será um polinômio do mesmo grau. Então, vamos supor que a solução particular
tenha a forma
, onde
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, precisamos aplicar o operador
na nossa solução particular
. Isso significa que vamos substituir
na equação diferencial original e igualar ao lado direito
. Normalmente, isso envolve calcular as derivadas de
e substituí-las na equação.
Passo 4
Após substituir
na equação e calcular as derivadas, nós igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos polinômios dos dois lados da equação. Isso nos dará um sistema de equações para resolver os valores de
,
e
.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações obtido no passo anterior, encontramos os valores das constantes
,
e
. Esses valores nos permitem construir a solução particular específica que atende à equação diferencial dada.
Resposta
A solução particular da equação
é
.
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para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
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a)
a)