Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de para dada, se a solução da equação homogênea associada for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação diferencial . A solução da equação homogênea associada é . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para achar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função específica, como um polinômio.

Passo 2

Primeiro, observamos que o lado direito da equação, , é um polinômio de segundo grau. Quando o termo não está presente na solução homogênea, assumimos que a solução particular também será um polinômio do mesmo grau. Então, vamos supor que a solução particular tenha a forma , onde , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, precisamos aplicar o operador na nossa solução particular . Isso significa que vamos substituir na equação diferencial original e igualar ao lado direito . Normalmente, isso envolve calcular as derivadas de e substituí-las na equação.

Passo 4

Após substituir na equação e calcular as derivadas, nós igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos polinômios dos dois lados da equação. Isso nos dará um sistema de equações para resolver os valores de , e .

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações obtido no passo anterior, encontramos os valores das constantes , e . Esses valores nos permitem construir a solução particular específica que atende à equação diferencial dada.

Resposta

A solução particular da equação é .

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a)