Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y) = φ(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y) = 0 for y_h = c_1 e^(2 x) + c_2 e^(3 x).
11.15 phi(x) = 2x - 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equações diferenciais onde precisa encontrar uma solução específica para a equação . A equação homogênea associada é , e a solução geral dessa equação homogênea é . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indefinidos, que é ótimo para esses casos onde o lado direito da equação ( phi(x)) é uma função simples como um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a solução geral da equação diferencial completa será a soma da solução homogênea ( ) com uma solução particular ( ) que queremos encontrar. Ou seja:
Aqui, nosso objetivo é encontrar essa que faz a equação verdadeira.

Passo 3

Como o lado direito da equação é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau. Vamos escrever:
Onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a operação diferencial na nossa suposição . Isso significa que vamos substituir na equação diferencial original e resolver para A e B.
Supondo que seja uma combinação linear de y e suas derivadas, ao aplicarmos , obteremos uma expressão que deve ser igual a .

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões:
Resolvendo essa equação para encontrar os valores de A e B, teremos a nossa solução particular.

Resposta

A solução particular da equação é:
onde A e B são constantes determinadas pelo procedimento acima.

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