Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equações diferenciais onde precisa encontrar uma solução específica para a equação
. A equação homogênea associada é
, e a solução geral dessa equação homogênea é
. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indefinidos, que é ótimo para esses casos onde o lado direito da equação (
) é uma função simples como um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a solução geral da equação diferencial completa será a soma da solução homogênea (
) com uma solução particular (
) que queremos encontrar. Ou seja:
Aqui, nosso objetivo é encontrar essa
que faz a equação
verdadeira.
Passo 3
Como o lado direito da equação
é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular
também seja um polinômio de primeiro grau. Vamos escrever:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, precisamos aplicar a operação diferencial
na nossa suposição
. Isso significa que vamos substituir
na equação diferencial original e resolver para
e
.
Supondo que
seja uma combinação linear de
e suas derivadas, ao aplicarmos
, obteremos uma expressão que deve ser igual a
.
Passo 5
Vamos igualar as duas expressões:
Resolvendo essa equação para encontrar os valores de
e
, teremos a nossa solução particular.
Resposta
A solução particular da equação
é:
onde
e
são constantes determinadas pelo procedimento acima.