Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
e)

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores (λ) e as autofunções (y) para o problema de contorno dado:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições de contorno específicas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de valores e funções próprias, que são fundamentais em vários ramos da matemática e física, como em vibrações e sistemas dinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Temos:
Essa é a equação harmônica, cuja solução depende do sinal de μ.

Passo 3

Vamos analisar os casos possíveis para μ:
  1. μ > 0:
    A solução geral é composta por funções trigonométricas:
  2. μ = 0:
    A solução geral é linear:
  3. μ < 0:
    Escrevemos μ = -k², onde k > 0. A solução geral é:
Vamos verificar qual desses casos se aplica às condições de contorno dadas.

Passo 4

Considerando as condições de contorno:
Vamos aplicar essas condições para cada caso de μ.
Caso 1: μ > 0
A solução é:
Calculando a derivada:
Aplicando y’(0) = 0:
Logo, a solução reduz para:
Agora, aplicamos y’(1) = 0:
Para que isso seja verdade, ou A = 0 (trivial, não interessante) ou:
Como n=0 levaria a μ=0, que já consideramos, vamos para n ≥ 1.
Então:
Lembrando que μ = λ + 1:
A autofunção associada para cada n é:

Passo 5

Caso 2: μ = 0
A soluç��o é:
Calculando a derivada:
Aplicando as condições de contorno:
Isso implica que A = 0, então y(x) = B, uma constante. Porém, ao substituir na equação diferencial:
Se B ≠ 0, então λ = -1. Mas isso corresponde ao caso trivial, já que a solução não fornece uma autofunção não trivial. Portanto, não há autovalores adicionais nesse caso.

Passo 6

Caso 3: μ < 0
A solução é:
Calculando a derivada:
Aplicando y’(0) = 0:
Logo, a solução reduz para:
Agora, aplicamos y’(1) = 0:
Para que isso seja verdade, ou A = 0 (trivial) ou k = 0, o que não se encaixa no caso μ < 0. Portanto, não há soluções não triviais nesse caso.

Resposta

Os autovalores são:
E as respectivas autofunções são:

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a)
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