Classificar e resolver os sistemas:
5 x-3 y-7 z & =-5 4 x-y-z & =2 -2 x+4 y+8 z & =10
Gabarito: Compatível e determinado; x=y=z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O objetivo é classificar o sistema (ver se ele tem solução única, infinitas ou nenhuma solução) e encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a substituição ou a combinação das equações para eliminar incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
5x - 3y - 7z = -5 (1) 4x - y - z = 2 (2) -2x + 4y + 8z = 10 (3)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vou optar por eliminar o 7 times (2): 28x - 7y - 7z = 14 entre as equações (1) e (2). Para isso, multiplicamos a equação (2) por 7 para que o coeficiente de (28x - 7y - 7z) - (5x - 3y - 7z) = 14 - (-5) fique igual em ambas:
23x - 4y = 19 (4)
Agora, subtraímos a equação (1) dessa nova equação:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 8 times (2): 32x - 8y - 8z = 16 entre as equações (2) e (3). Podemos multiplicar a equação (2) por 8 para igualar os coeficientes de (32x - 8y - 8z) - (-2x + 4y + 8z) = 16 - 10 :
34x - 12y = 6 (5)
Subtraindo a equação (3):

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
23x - 4y = 19 (4) 34x - 12y = 6 (5)
Vamos resolver isso. Podemos multiplicar a equação (4) por 3 para alinhar os coeficientes de 3 times (4): 69x - 12y = 57 :
69x - 12y - (34x - 12y) = 57 - 6
Subtraindo a equação (5):
35x = 51 Rightarrow x = 5135 = 51 div 1735 div 17 = 32 (erro detectado)
Ops! Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar.

Passo 6

Revisando os cálculos:
Na equação (5):
34x - 12y = 6 Rightarrow 34x = 12y + 6 Rightarrow x = 12y + 634 = 6y + 317
Substituindo 23(6y + 317) - 4y = 19 na equação (4):
138y + 6917 - 4y = 19
138y + 69 - 68y17 = 19
70y + 6917 = 19
70y + 69 = 323 (Mu
70y = 254 Rightarrow y = 25470 = 12735

Passo 7

Agora que temos x = 6y + 317 = 6 times 12735 + 317 = 76235 + 1053517 = 8673517 = 867595 = 867 div 17595 div 17 = 5135 , vamos encontrar :

Passo 8

Por fim, vamos encontrar 4x - y - z = 2 usando a equação (2):
4 times 5135 - 12735 - z = 2
20435 - 12735 - z = 2
7735 - z = 2 Rightarrow -z = 2 - 7735 = 7035 - 7735 = -735 Rightarrow z = 15

Resposta

O sistema é compatível e determinado, com a solução , e .

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