(1,5 pontos) Determine o ângulo menor entre as retas 2 x+3 y=1 e y=-5 x+8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo menor entre as retas e . Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas. Precisaremos identificar os coeficientes angulares das duas retas e aplicar uma fórmula que relaciona esses coeficientes com o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os coeficientes angulares das duas retas. O coeficiente angular de uma reta na forma 3y = -2x + 1 y = -23x + 13 é o valor de .
Para a primeira reta , vamos isolar o :
Então, o coeficiente angular dessa reta é .

Passo 3

Já para a segunda reta m2 = -5 , o coeficiente angular é diretamente visível:

Passo 4

Agora que temos os dois coeficientes angulares, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 | entre duas retas:
Essa fórmula nos dá o valor do tangente do ângulo entre as duas retas.

Passo 5

Vamos substituir os valores de tan(theta) = | -5 - (-23)1 + (-23)(-5) | = | -5 + 231 + 103 | e tan(theta) = | -153 + 2333 + 103 | = | -133133 | = | -1 | = 1 na fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta = arctan(1) , usamos a função arco-tangente:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo menor entre as retas é de .

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