(2 pontos) Determine os focos, os vértices, as retas diretrizes(quando houver) e esboce as cônicas y=x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação , e precisamos determinar os focos, os vértices, as retas diretrizes (quando houver) e esboçar a cônica correspondente. O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas, e precisaremos conhecer as propriedades das parábolas para resolver isso.

Passo 2

A equação dada é y = ax^2 + bx + c . Vamos reescrevê-la na forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo:
No nosso caso, , e . Isso indica que a parábola está centralizada na origem e abre para cima porque .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Para a forma h = -b2a , o vértice k = c - b^24a é dado por:
h = -02 times 1 = 0
k = 0 - 0^24 times 1 = 0
Substituindo os valores:
Então, o vértice é .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada por:
14a
Substituindo 14 times 1 = 14 :
Foco = (0, 0 + 14) = (0, 14)
Como a parábola abre para cima, o foco fica unidades acima do vértice:

Passo 5

Agora, vamos achar a linha diretriz. A equação da diretriz é:
y = k - 14a
Substituindo os valores:
y = 0 - 14 times 1 = -14
Então, a diretriz é a reta horizontal .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar a parábola :
  • O vértice está em .
  • O foco está em .
  • A diretriz é a reta .
    A parábola abre para cima, simétrica em relação ao eixo .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Reta diretriz:
  • Esboço da parábola: Uma curva que abre para cima, com vértice na origem, foco em e diretriz em .

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