(2 pontos) Determine os focos, os vértices, as retas diretrizes(quando houver) e esboce as cônicas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
, e precisamos determinar os focos, os vértices, as retas diretrizes (quando houver) e esboçar a cônica correspondente. O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas, e precisaremos conhecer as propriedades das parábolas para resolver isso.
Passo 2
A equação dada é
. Vamos reescrevê-la na forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo:
No nosso caso,
,
e
. Isso indica que a parábola está centralizada na origem
e abre para cima porque
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Para a forma
, o vértice
é dado por:
Substituindo os valores:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada por:
Substituindo
:
Como a parábola abre para cima, o foco fica
unidades acima do vértice:
Passo 5
Agora, vamos achar a linha diretriz. A equação da diretriz é:
Substituindo os valores:
Então, a diretriz é a reta horizontal
.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar a parábola
:
- O vértice está em
. - O foco está em
. - A diretriz é a reta
.
A parábola abre para cima, simétrica em relação ao eixo.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Reta diretriz:
- Esboço da parábola: Uma curva que abre para cima, com vértice na origem, foco em
e diretriz em .