Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Queremos mostrar que é um ponto singular regular dessa equação. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma . Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e séries de potências em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, dividimos toda a equação por para facilitar a identificação dos coeficientes e na forma:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um ponto singular. Um ponto é singular se pelo menos um dos coeficientes ou tem uma singularidade em . Aqui, e têm singularidade em , então é um ponto singular.

Passo 4

Para determinar se é um ponto singular regular, precisamos verificar se e são analíticos em . Calculando:
Ambas as expressões são polinômios e, portanto, analíticas em . Logo, é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução em série de potências. Assumimos uma solução na forma:
Calculamos as derivadas:

Passo 6

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos alinhar os poderes de . Para o último somatório, fazemos a mudança de índice :
Agora, todas as séries têm o mesmo expoente . Podemos combiná-las:

Passo 8

Para que essa igualdade valha para todo , cada coeficiente do polinômio deve ser zero:
Simplificando:
Então, temos a relação de recorrência:

Passo 9

Para o caso , encontramos a equação indicial substituindo :
Como , temos:

Passo 10

Agora, usando a relação de recorrência , podemos escrever os coeficientes em termos de :
E assim por diante.

Passo 11

Finalmente, escrevemos a solução em série de potências:
Essa é a solução em série de potências para a equação diferencial dada, com .

Resposta

A equação diferencial tem como um ponto singular regular. Uma solução em série de potências é:

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