Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em x0=0. Além disso, para algum número real r, determine uma solução em séries de potências da forma y(x)=x^r sumn=0^infty x^n=sumn=0^infty x^r+n.
x y^prime prime+y^prime-y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Queremos mostrar que é um ponto singular regular dessa equação. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma . Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e séries de potências em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. A equação está na forma padrão:
x y'' + y' - y = 0
Podemos reescrever isso como:
y'' + 1x y' - 1x y = 0
Aqui, dividimos toda a equação por y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 para facilitar a identificação dos coeficientes P(x) = 1x e Q(x) = -1x e na forma:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um ponto singular. Um ponto é singular se pelo menos um dos coeficientes ou tem uma singularidade em . Aqui, e têm singularidade em , então é um ponto singular.

Passo 4

Para determinar se x P(x) = x cdot 1x = 1 e x^2 Q(x) = x^2 cdot (-1x) = -x é um ponto singular regular, precisamos verificar se e são analíticos em . Calculando:
Ambas as expressões são polinômios e, portanto, analíticas em . Logo, é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução em série de potências. Assumimos uma solução na forma:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^r+n
Calculamos as derivadas:
y'(x) = sumn=0^infty an (r + n) x^r+n-1
y''(x) = sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r+n-2

Passo 6

Substituímos x cdot y'' + y' - y = 0 , x cdot sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r+n-2 + sumn=0^infty an (r + n) x^r+n-1 - sumn=0^infty an x^r+n = 0 e sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r+n-1 + sumn=0^infty an (r + n) x^r+n-1 - sumn=0^infty an x^r+n = 0 na equação diferencial original:
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos alinhar os poderes de sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r+n-1 + sumn=0^infty an (r + n) x^r+n-1 - sumn=1^infty an-1 x^r+n-1 = 0 . Para o último somatório, fazemos a mudança de índice sumn=0^infty [ an (r + n)(r + n - 1) + an (r + n) - an-1 ] x^r+n-1 = 0 :
Agora, todas as séries têm o mesmo expoente . Podemos combiná-las:

Passo 8

Para que essa igualdade valha para todo an (r + n)(r + n - 1) + an (r + n) - an-1 = 0 , cada coeficiente do polinômio deve ser zero:
an [(r + n)(r + n - 1) + (r + n)] = an-1
Simplificando:
an (r + n)^2 - an-1 = 0
an = an-1(r + n)^2
Então, temos a relação de recorrência:

Passo 9

Para o caso a0 [r(r - 1) + r] = 0 , encontramos a equação indicial substituindo a0 (r^2 - r + r) = a0 r^2 = 0 :
r^2 = 0 implies r = 0
Como , temos:

Passo 10

Agora, usando a relação de recorrência a1 = a01^2 = a0 , podemos escrever os coeficientes a2 = a12^2 = a04 em termos de a3 = a23^2 = a036 :
E assim por diante.

Passo 11

Finalmente, escrevemos a solução em série de potências:
y(x) = a0 (1 + x + x^24 + x^336 + cdots )
Essa é a solução em série de potências para a equação diferencial dada, com .

Resposta

A equação diferencial y(x) = a0 (1 + x + x^24 + x^336 + cdots ) tem como um ponto singular regular. Uma solução em série de potências é:

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