Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Queremos mostrar que
é um ponto singular regular dessa equação. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e séries de potências em equações diferenciais.
Passo 2
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, dividimos toda a equação por
para facilitar a identificação dos coeficientes
e
na forma:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um ponto singular. Um ponto é singular se pelo menos um dos coeficientes
ou
tem uma singularidade em
. Aqui,
e
têm singularidade em
, então
é um ponto singular.
Passo 4
Para determinar se
é um ponto singular regular, precisamos verificar se
e
são analíticos em
. Calculando:
Ambas as expressões são polinômios e, portanto, analíticas em
. Logo,
é um ponto singular regular.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução em série de potências. Assumimos uma solução na forma:
Calculamos as derivadas:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos alinhar os poderes de
. Para o último somatório, fazemos a mudança de índice
:
Agora, todas as séries têm o mesmo expoente
. Podemos combiná-las:
Passo 8
Para que essa igualdade valha para todo
, cada coeficiente do polinômio deve ser zero:
Simplificando:
Então, temos a relação de recorrência:
Passo 9
Para o caso
, encontramos a equação indicial substituindo
:
Como
, temos:
Passo 10
Agora, usando a relação de recorrência
, podemos escrever os coeficientes
em termos de
:
E assim por diante.
Passo 11
Finalmente, escrevemos a solução em série de potências:
Essa é a solução em série de potências para a equação diferencial dada, com
.
Resposta
A equação diferencial
tem
como um ponto singular regular. Uma solução em série de potências é:
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e
.
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