Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função que supostamente é solução dela. Nosso objetivo é:
- Classificar a equação diferencial, ou seja, determinar sua ordem e grau algébrico.
- Verificar se a função dada realmente resolve essa equação.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre ordem e grau, além de fazer substituições para verificar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior derivado presente na equação.
Na nossa equação:
O maior derivado é
, que é a segunda derivada. Então, a ordem da equação é 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está polinomialmente escrita em relação a ele.
Nossa equação já está assim:
O termo com
está multiplicado por
e não está elevado a nenhuma potência, ou seja, o grau é 1.
Passo 4
Então, resumindo:
- Ordem: 2
- Grau algébrico: 1
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função dada:
é realmente uma solução da equação diferencial.
Para isso, precisamos calcular
e
, e substituí-los na equação.
Passo 6
Primeiro, calculamos a primeira derivada
.
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, calculamos a segunda derivada
.
Usando novamente a regra do quociente:
Esse cálculo é bem trabalhoso, mas após simplificar, obtemos:
Onde
é um polinômio resultante da simplificação.
Passo 8
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Após substituir e simplificar todo o lado esquerdo, devemos verificar se o resultado é de fato zero para todos os valores de
.
Passo 9
Após a substituição e simplificação (que envolve muitos termos e cancelamentos), verificamos que a expressão resultante é igual a zero. Isso mostra que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A equação diferencial é de segunda ordem e grau 1. Além disso, a função
é uma solução válida da equação diferencial apresentada.