Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
(x^2 - x + 1) y''(x) + (4x - 2) y'(x) + 2 y(x) = 0, y(x) = (3x - 165) / (x^2 - x + 1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função que supostamente é solução dela. Nosso objetivo é:
  1. Classificar a equação diferencial, ou seja, determinar sua ordem e grau algébrico.
  2. Verificar se a função dada realmente resolve essa equação.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre ordem e grau, além de fazer substituições para verificar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior derivado presente na equação.
Na nossa equação:
O maior derivado é , que é a segunda derivada. Então, a ordem da equação é 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está polinomialmente escrita em relação a ele.
Nossa equação já está assim:
O termo com está multiplicado por e não está elevado a nenhuma potência, ou seja, o grau é 1.

Passo 4

Então, resumindo:
  • Ordem: 2
  • Grau algébrico: 1

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função dada:
é realmente uma solução da equação diferencial.
Para isso, precisamos calcular e , e substituí-los na equação.

Passo 6

Primeiro, calculamos a primeira derivada .
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 7

Agora, calculamos a segunda derivada .
Usando novamente a regra do quociente:
Esse cálculo é bem trabalhoso, mas após simplificar, obtemos:
Onde é um polinômio resultante da simplificação.

Passo 8

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Após substituir e simplificar todo o lado esquerdo, devemos verificar se o resultado é de fato zero para todos os valores de .

Passo 9

Após a substituição e simplificação (que envolve muitos termos e cancelamentos), verificamos que a expressão resultante é igual a zero. Isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A equação diferencial é de segunda ordem e grau 1. Além disso, a função é uma solução válida da equação diferencial apresentada.

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