Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que são métodos para analisar o comportamento de séries infinitas. Precisamos entender essas ferramentas e aplicá-las passo a passo para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste analisa o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Seja . Calculamos:
Passo 3
Calculando a razão an+1an = (n+1)^2(n+1)(1+2(n+1)^2)^n+1 cdot (1+2n^2)^nn^2n :
Simplificando isso pode ficar bem complicado, então vamos optar pelo Teste da Raiz, que pode ser mais direto nesse caso.
Passo 4
O Teste da Raiz diz que para a série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
an = n^2n(1+2n^2)^n
Se raiz[n]an = n^21+2n^2 , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar esse teste à nossa série:
Calculando a raiz n-ésima:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty n^21+2n^2 :
L = limn to infty 11n^2 + 2 = 10 + 2 = 12
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 6
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.