Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais, conhecida como problema de Cauchy. Nossa missão é verificar se esse é realmente um problema de Cauchy, analisar se existe uma solução única para ele e, se for o caso, encontrar um conjunto aberto em
onde isso é garantido. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de existência e unicidade de soluções em equações diferenciais, usando principalmente o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de segunda ordem como um sistema de equações de primeira ordem. Isso facilita a aplicação dos teoremas de existência e unicidade. Vamos definir:
Então, nosso sistema fica:
com as condições iniciais:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que está na segunda equação, ou seja,
. Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf, precisamos que
seja contínua e que satisfaça uma condição de Lipschitz em relação a
no conjunto onde vamos trabalhar.
Passo 4
Vamos verificar a condição de Lipschitz para
. Primeiro, notamos que
é derivável para
, e sua derivada é:
Essa derivada é contínua e limitada em qualquer intervalo que não inclua
.
Passo 5
Como nossa condição inicial é
, que é maior que zero, podemos escolher um intervalo aberto em torno desse ponto que não inclua
. Nesse conjunto aberto, a função
satisfaz a condição de Lipschitz, garantindo assim a existência e unicidade da solução pelo Teorema de Picard-Lindelöf.
Resposta
Sim, o problema apresentado é um problema de Cauchy. Um subconjunto aberto de
onde a existência e unicidade da solução são garantidas é qualquer conjunto que contenha o ponto
e esteja restrito a valores de
maiores que zero, por exemplo:
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;
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